Quiz — Formes quadratiques

Question 1

Qu'est-ce qu'une forme quadratique ?

Accepted Answer

Une forme quadratique est [formule] avec [formule] bilinéaire symétrique.

Question 2

La loi d'inertie de Sylvester affirme que...

Accepted Answer

Sylvester : la signature [formule] ne dépend pas de la base choisie.

Question 3

Une forme quadratique est définie positive ssi...

Accepted Answer

Définie positive : [formule] pour tout [formule] (équivalent à signature [formule]). Rang [formule] ou déterminant positif ne suffisent pas : [formule] est non dégénérée, de déterminant positif, mais définie négative.

Question 4

Deux matrices représentant la même forme quadratique sont...

Accepted Answer

Congruentes : [formule] pour [formule] inversible.

Question 5

Quelle est la signature de [formule] ?

Accepted Answer

Un coefficient positif, un négatif : signature [formule].

Question 6

Soit [formule] une forme quadratique sur [formule] de dimension [formule], dont le radical [formule] est de dimension [formule]. Que vaut le rang de [formule] ?

Accepted Answer

Le rang de [formule] est celui de sa matrice dans une base, c'est-à-dire celui de l'application linéaire [formule] de [formule] dans [formule]. Son noyau est exactement le radical [formule], d'où, par le théorème du rang, [formule]. En particulier [formule] est non dégénérée ([formule]) si et seulement si son rang vaut [formule], et cela ne suppose aucune hypothèse de signe.