Quiz — Espaces euclidiens

Question 1

Qu'est-ce qu'un espace euclidien ?

Accepted Answer

Un espace euclidien est un [formule]-espace vectoriel de dimension finie avec un produit scalaire.

Question 2

Que vaut [formule] en dimension finie ?

Accepted Answer

En dimension finie, [formule] pour tout sous-espace [formule].

Question 3

L'inégalité de Cauchy-Schwarz affirme que...

Accepted Answer

Cauchy-Schwarz : [formule], avec égalité ssi colinéaires.

Question 4

Le procédé de Gram-Schmidt produit-il une base orthogonale ou orthonormée ?

Accepted Answer

Gram-Schmidt sans normalisation donne une base orthogonale ; en normalisant chaque vecteur, on obtient une BON. Les deux versions coexistent dans la littérature.

Question 5

Quelle est la distance de [formule] à l'origine dans [formule] euclidien ?

Accepted Answer

[formule] (ne pas oublier la racine carrée : 9 est le carré de la norme).

Question 6

Dans un plan euclidien, soit [formule] un endomorphisme orthogonal de déterminant [formule]. Que peut-on dire de [formule] ?

Accepted Answer

En dimension [formule], le groupe orthogonal se classe par le déterminant : [formule] donne les rotations, [formule] donne les réflexions. Une réflexion a pour matrice, dans une base orthonormée adaptée, [formule] : elle fixe une droite et renverse sa perpendiculaire, d'où le déterminant [formule]. Elle est symétrique et involutive ([formule]), et s'écrit [formule] avec [formule] unitaire normal à l'axe.