Quiz — Chaines markov

Question 1

Une chaîne de Markov vérifie...

Accepted Answer

Propriété de Markov : le futur ne dépend du passé qu'à travers le présent.

Question 2

Une chaîne est irréductible si...

Accepted Answer

Irréductible : on peut aller de n'importe quel état à n'importe quel autre.

Question 3

Un état récurrent est...

Accepted Answer

Récurrent : probabilité 1 de revenir à l'état. Transient sinon.

Question 4

Une mesure stationnaire [formule] vérifie...

Accepted Answer

Mesure invariante : [formule] (vecteur propre à gauche pour la VP 1).

Question 5

Le théorème ergodique pour les chaînes de Markov dit que...

Accepted Answer

Ergodique (irréductible, apériodique, récurrente positive) : convergence vers [formule].

Question 6

Marche aléatoire simple symétrique sur [formule] : à chaque pas, l'un des [formule] voisins est choisi uniformément. Pour quelles dimensions [formule] est-elle récurrente, c'est-à-dire revient-elle presque sûrement à son point de départ ?

Accepted Answer

C'est le théorème de récurrence de Pólya. La marche est récurrente si et seulement si [formule] ; or [formule] (formule de Stirling appliquée aux coefficients binomiaux), et la série de Riemann [formule] diverge pour [formule] et converge pour [formule]. D'où l'image de Kakutani : un ivrogne finit toujours par rentrer chez lui, un oiseau ivre peut se perdre à jamais.