Quiz — Adjoint spectral

Question 1

L'adjoint [formule] d'un endomorphisme [formule] vérifie...

Accepted Answer

Définition de l'adjoint : [formule] pour tous [formule].

Question 2

Un endomorphisme est auto-adjoint ssi...

Accepted Answer

Auto-adjoint (ou hermitien) signifie [formule].

Question 3

La matrice de [formule] dans une BON est...

Accepted Answer

Dans une BON, [formule] (transposée conjuguée).

Question 4

Un endomorphisme normal vérifie...

Accepted Answer

Normal : [formule] et [formule] commutent. Symétrique et orthogonal sont des cas particuliers.

Question 5

Si [formule] auto-adjoint sur [formule] avec matrice [formule], quelles sont ses valeurs propres ?

Accepted Answer

[formule]. VP : 2 et 4.

Question 6

Soit [formule] un endomorphisme symétrique positif d'un espace euclidien. Combien y a-t-il d'endomorphismes [formule] symétriques POSITIFS vérifiant [formule] ?

Accepted Answer

Par le théorème spectral, [formule] se diagonalise en base orthonormée avec des valeurs propres [formule] ; l'endomorphisme [formule] qui vaut [formule] dans cette base est symétrique positif et vérifie [formule]. Il est unique : tout [formule] symétrique positif de carré [formule] commute avec [formule], donc stabilise ses sous-espaces propres, et sur [formule] il est symétrique positif de carré [formule], donc égal à [formule]. C'est la racine carrée positive de [formule], l'ingrédient de la décomposition polaire.