Vecteurs Aléatoires > [!NOTE] > ### 1. Définitions et Fondamentaux > Un vecteur aléatoire est une application mesurable [formule]. > * Loi conjointe : [formule]. > * Lois marginales : [formule]. > * Densité conjointe : [formule] telle que [formule]. > * Marginales : [formule]. > * Indépendance : [formule] pour presque tout [formule]. > * Espérance vectorielle : [formule]. > * Matrice de covariance : [formule], matrice symétrique positive. > [!WARNING] > ### 2. Pièges à éviter > * Marginales [formule] conjointe : Connaître les marginales ne détermine pas la loi conjointe. > * Non corrélées [formule] indépendantes : [formule] n'implique pas l'indépendance. > * Densité conditionnelle : [formule] n'est définie que si [formule]. > * Vecteur gaussien : Toutes les combinaisons linéaires sont gaussiennes (pas juste les marginales !). > [!TIP] > ### 3. Exercice Type : Somme de v.a. indépendantes > Énoncé : Si [formule] indépendantes de densités [formule], trouver la densité de [formule]. > > Solution Détaillée : > 1. Fonction de répartition : [formule]. > 2. Intégrale double : [formule]. > 3. Changement d'ordre : [formule]. > 4. Dérivation : [formule]. > 5. Conclusion : [formule] (produit de convolution). > [!QUESTION] > ### 4. Questions de Jury > * Q1 : Qu'est-ce qu'un vecteur gaussien ? > * Rép : Vecteur dont toute combinaison linéaire des composantes est gaussienne. > * Q2 : Deux gaussiennes non corrélées sont-elles indépendantes ? > * Rép : Oui, si elles font partie d'un même vecteur gaussien. > * Q3 : Quelle est la densité de [formule] uniformes sur le disque unité ? > * Rép : [formule]. ### 5. Références Bibliographiques * D. Foata, A. Fuchs, Calcul des probabilités — Chapitre complet sur les vecteurs gaussiens. * C. Deschamps, Probabilités — Approche pédagogique des couples de variables.