Variables Aléatoires à Densité > [!NOTE] > ### 1. Définitions et Fondamentaux > Une variable aléatoire [formule] est à densité s'il existe [formule] intégrable telle que : > [formule] > * Conditions : [formule] et [formule]. > * Fonction de répartition : [formule], et [formule] p.p. > * Espérance : [formule] si l'intégrale converge absolument. > * Transfert : [formule]. > * Changement de variable : Si [formule] avec [formule] bijective [formule], [formule]. > * Singletons de mesure nulle : [formule] pour tout [formule]. > [!WARNING] > ### 2. Pièges à éviter > * Densité non unique : On peut modifier [formule] sur un ensemble de mesure nulle. > * Existence de l'espérance : L'intégrale [formule] doit converger. > * Changement de variable : Ne pas oublier le Jacobien [formule]. > * Mélange discret/continu : Une v.a. peut être ni discrète ni à densité. > [!TIP] > ### 3. Exercice Type : Loi de [formule] > Énoncé : Soit [formule]. Trouver la loi de [formule]. > > Solution Détaillée : > 1. Fonction de répartition : Pour [formule], > [formule]. > 2. Calcul : [formule]. > 3. Densité : [formule]. > 4. Simplification : [formule] pour [formule]. > 5. Reconnaissance : C'est [formule]. > [!QUESTION] > ### 4. Questions de Jury > * Q1 : Comment trouver la densité de [formule] ? > * Rép : Méthode de la fonction de répartition : calculer [formule] puis dériver. > * Q2 : Si [formule] a une densité, [formule] aussi ? > * Rép : Oui, [formule]. > * Q3 : Quelle est la densité de [formule] si [formule] a densité [formule] ? > * Rép : [formule]. Si [formule] est symétrique, [formule] a même loi que [formule]. ### 5. Références Bibliographiques * D. Foata, A. Fuchs, Calcul des probabilités — Traitement rigoureux des variables à densité. * J.-Y. Ouvrard, Probabilités 2 — Exercices corrigés sur les changements de variables.