Variables Aléatoires > [!NOTE] > ### 1. Définitions et Fondamentaux > Une [variable aléatoire](def:variable aleatoire) est une fonction mesurable [formule]. > * Discrète : Prend un nombre fini ou dénombrable de valeurs. Loi : [formule]. > * Continue : Loi définie par une densité [formule] : [formule]. > * Fonction de répartition : [formule]. Croissante, continue à droite, [formule], [formule]. > * Espérance : [formule] (discret) ou [formule] (continu). > * Variance : [formule]. > * Écart-type : [formule]. > * Moments : [formule] est le moment d'ordre [formule]. > [!WARNING] > ### 2. Pièges à éviter > * Espérance non définie : Peut ne pas exister (ex : loi de Cauchy). > * [formule] : Vrai seulement si [formule] indépendantes. > * [formule] : Vrai seulement si [formule] non corrélées. > * Fonction de répartition : Les sauts correspondent aux atomes (masses ponctuelles). > * Densité : Non unique (on peut la modifier sur un ensemble de mesure nulle). > [!TIP] > ### 3. Exercice Type : Calcul d'espérance > Énoncé : Soit [formule] de densité [formule]. Calculer [formule] et [formule]. > > Solution Détaillée : > 1. Espérance : [formule]. > IPP : [formule]. > 2. [formule] : [formule]. Double IPP [formule]. > 3. Variance : [formule]. > 4. Écart-type : [formule]. > [!QUESTION] > ### 4. Questions de Jury > * Q1 : Qu'est-ce qu'une variable aléatoire ? > * Rép : Application mesurable de [formule] vers [formule]. > * Q2 : Donner une variable aléatoire sans espérance. > * Rép : [formule] de loi de Cauchy : [formule]. L'intégrale [formule] diverge. > * Q3 : Qu'est-ce que la loi d'une variable aléatoire ? > * Rép : La mesure image [formule] sur [formule]. ### 5. Références Bibliographiques * D. Foata, A. Fuchs, Calcul des probabilités — Définitions rigoureuses et exemples variés. * J.-Y. Ouvrard, Probabilités 1 — Introduction progressive aux variables aléatoires.