Variables Aléatoires Discrètes > [!NOTE] > ### 1. Définitions et Moments > Une variable aléatoire (V.A.) discrète est une application [formule] où [formule] est dénombrable. > * Loi de probabilité : Caractérisée par la donnée des [formule] pour tout [formule]. On a [formule]. > * Espérance : Si la série [formule] converge, on définit l'espérance par : > [formule] > * Formule de transfert : Pour toute fonction [formule], [formule] (sous réserve de convergence absolue). > [!WARNING] > ### 2. Pièges à éviter > * Existence de l'Espérance : Ne jamais écrire [formule] sans avoir prouvé la convergence absolue de la série (sauf si [formule] est bornée ou à support fini). > * Séries alternées : La semi-convergence ne suffit pas pour définir l'espérance (car l'ordre de sommation dépendrait du résultat). > * Variance infinie : Une V.A. peut avoir une espérance finie mais une variance infinie (exemple : Loi de Pareto). > [!TIP] > ### 3. Exercice : Loi Géométrique et "Sans Mémoire" > Énoncé : Soit [formule] une loi géométrique (rang du premier succès). Montrer que [formule] est "sans mémoire". Caractériser les lois discrètes à valeurs dans [formule] sans mémoire. > > #### Solution Détaillée : > 1. Propriété "Sans mémoire" : > On calcule [formule]. > On vérifie : [formule]. > Le fait d'avoir déjà attendu [formule] tours ne change pas la probabilité d'attendre encore [formule] tours. > > 2. Réciproque (Caractérisation) : > Soit [formule] à valeurs dans [formule] telle que [formule]. > On pose [formule]. La relation devient [formule]. > C'est une équation fonctionnelle classique sur [formule]. Comme [formule], on a [formule]. > On pose [formule]. Alors [formule]. > On reconnaît une loi géométrique de paramètre [formule]. > [!QUESTION] > ### 4. Questions de Jury > * Q1 : Quelle est la différence entre convergence en probabilité et convergence presque sûre ? > * Rép : La convergence p.s. est plus forte. Elle implique la convergence en probabilité. (L'inverse est faux, sauf si on extrait une sous-suite). > * Q2 : Citer une loi qui n'a pas d'espérance. > * Rép : La loi de Cauchy (densité en [formule] ) ou une loi discrète type [formule] (la série harmonique diverge). > * Q3 : Comment simuler une loi géométrique avec un générateur uniforme sur [formule] ? > * Rép : On utilise la méthode de l'inversion de la fonction de répartition : [formule]. ### 5. Références Bibliographiques * J.-Y. Ouvrard, Probabilités 1 — Niveau adapté à l'agrégation, nombreux exercices. * P. Barbe, M. Ledoux, Probabilité — Exercices corrigés et approfondissements.