Transformations Affines > [!NOTE] > ### 1. Définitions et Fondamentaux > Une transformation affine est une application [formule] de la forme [formule]. > * Partie linéaire : [formule] est un endomorphisme de l'espace vectoriel directeur. > * Translation : [formule] et [formule]. Pas de point fixe. > * Homothétie : [formule] avec un centre — point fixe si [formule]. > * Affinité orthogonale : [formule] est une isométrie vectorielle. > * Projection affine : [formule] est une projection, i.e. [formule]. Image = sous-espace fixé. > * Symétrie affine : [formule] est une symétrie, i.e. [formule]. > * Groupe affine : [formule] est le groupe des bijections affines. > [!WARNING] > ### 2. Pièges à éviter > * Points fixes : Ensemble des points fixes = sous-espace affine de direction [formule]. > * Translation : Pas de point fixe, mais direction propre car [formule]. > * Composition : [formule]. > * Affinité ≠ application linéaire : Une affinité qui ne fixe pas l'origine n'est pas linéaire. > * Bijectivité : [formule] bijective ssi [formule] bijective, ssi [formule]. > [!TIP] > ### 3. Exercice Type : Points fixes > Énoncé : Soit [formule] l'affinité du plan de partie linéaire [formule] et [formule]. Trouver les points fixes. > > Solution Détaillée : > 1. Équation : [formule]. > Soit [formule] : [formule]. > 2. Système : [formule] > [formule] > 3. Vérification : [formule] ✓ > 4. Conclusion : Unique point fixe [formule]. > [!QUESTION] > ### 4. Questions de Jury > * Q1 : Une affinité sans point fixe est-elle forcément une translation ? > * Rép : Non. Contre-exemple en dimension [formule] : une affinité dont la partie linéaire a 1 comme valeur propre mais dont le sous-espace propre associé ne contient pas le vecteur translation. > * Q2 : Qu'est-ce qu'une transvection ? > * Rép : Affinité [formule] telle que [formule] est de rang 1 et [formule]. > * Q3 : Le groupe affine est-il un sous-groupe de [formule] ? > * Rép : Non directement, mais on peut le plonger dans [formule] via les coordonnées homogènes. ### 5. Références Bibliographiques * M. Audin, Géométrie — Excellente approche moderne des transformations affines. * J. Lelong-Ferrand, J.-M. Arnaudiès, Géométrie et Cinématique — Classique complet sur les applications affines.