Topologie : Ouverts et Fermés > [!NOTE] > ### 1. Définitions et Fondamentaux > La topologie étudie les notions de proximité et de continuité de façon abstraite. > * Ouvert : Partie [formule] telle que tout point admet un voisinage inclus dans [formule]. > * Fermé : Complémentaire d'un ouvert. Stable par passage à la limite. > * Adhérence : [formule] plus petit fermé contenant [formule] = ensemble des limites de suites de [formule]. > * Intérieur : [formule] plus grand ouvert contenu dans [formule]. > * Frontière : [formule]. > * Dense : [formule] dense si [formule] — tout point est limite de points de [formule]. > * Voisinage : [formule] est voisinage de [formule] s'il contient un ouvert contenant [formule]. > [!WARNING] > ### 2. Pièges à éviter > * Ni ouvert ni fermé : [formule] n'est ni ouvert ni fermé dans [formule]. > * Ouvert ET fermé : [formule] et [formule] sont toujours ouverts et fermés. Ce sont parfois les seuls (connexe). > * Adhérence ≠ fermeture : L'adhérence de [formule] dans [formule] est [formule]. > * Intérieur vide : [formule] dans [formule]. > * Union/intersection : Union quelconque d'ouverts = ouvert. Intersection finie d'ouverts = ouvert. > [!TIP] > ### 3. Exercice Type : Adhérence et intérieur > Énoncé : Déterminer [formule] et [formule] pour [formule] dans [formule]. > > Solution Détaillée : > 1. Adhérence : Soit [formule]. Par densité de [formule], il existe [formule] avec [formule]. > En prenant [formule] (ajustement près des bords), on a [formule]. > Donc [formule]. > 2. Intérieur : Supposons [formule]. Alors [formule]. > Mais tout intervalle contient des irrationnels. Contradiction. > Donc [formule]. > [!QUESTION] > ### 4. Questions de Jury > * Q1 : Qu'est-ce qu'une base de topologie ? > * Rép : Famille d'ouverts telle que tout ouvert est union d'éléments de la famille. Ex : boules ouvertes. > * Q2 : Qu'est-ce que la topologie induite ? > * Rép : Sur [formule], les ouverts de [formule] sont les [formule] où [formule] est ouvert de [formule]. > * Q3 : Donner un exemple d'ensemble à la fois ouvert et fermé, autre que [formule] et [formule]. > * Rép : [formule] est ouvert et fermé dans [formule] (muni de la topologie induite). ### 5. Références Bibliographiques * J. Dixmier, Topologie générale — Référence pour la topologie. * X. Gourdon, Analyse — La référence pour l'agrégation, très complet.