Topologie des Espaces Normés > [!NOTE] > ### 1. Définitions et Fondamentaux > Un espace normé est un [espace vectoriel](def:espace vectoriel) muni d'une norme. > * Norme : [formule], [formule], [formule], [formule]. > * Boule ouverte : [formule]. Boule fermée : [formule]. > * Ouvert : Partie [formule] telle que [formule]. > * Fermé : Complémentaire d'un ouvert. Contient ses limites. > * Équivalence de normes : [formule] si [formule]. > * Dimension finie : En dimension finie, toutes les normes sont équivalentes. > * Suite convergente : [formule] si [formule]. > [!WARNING] > ### 2. Pièges à éviter > * Boule ouverte ≠ intérieur de la boule fermée : Vrai en général, mais pas en dimension infinie parfois. > * Équivalence : En dimension infinie, les normes ne sont pas toutes équivalentes ! > * Fermé borné ≠ compact : En dimension infinie, fermé + borné n'implique pas compact. > * Norme vs semi-norme : Une semi-norme peut être nulle sur des vecteurs non nuls. > * Convergence : Dépend de la norme choisie (mais pas en dimension finie). > [!TIP] > ### 3. Exercice Type : Équivalence des normes en dim finie > Énoncé : Dans [formule], montrer que [formule]. > > Solution Détaillée : > 1. [formule] et [formule]. > 2. Par Cauchy-Schwarz dans [formule] : > [formule] > 3. Conclusion : [formule]. > [!QUESTION] > ### 4. Questions de Jury > * Q1 : Pourquoi toutes les normes sont-elles équivalentes en dimension finie ? > * Rép : La sphère unité pour [formule] est compacte. Toute norme [formule] y est continue, donc atteint son min et max. > * Q2 : Donner un exemple de deux normes non équivalentes. > * Rép : Sur [formule] : [formule] et [formule]. Pas équivalentes (suite de pics). > * Q3 : Qu'est-ce qu'un espace de Banach ? > * Rép : Espace normé complet (toute suite de Cauchy converge). ### 5. Références Bibliographiques * J. Dixmier, Topologie générale — Référence pour la topologie. * H. Queffélec, Analyse pour l'agrégation — Spécialement conçu pour le concours.