Théorèmes Limites > [!NOTE] > ### 1. Définitions et Fondamentaux > Les théorèmes limites décrivent le comportement asymptotique des sommes de variables aléatoires. > * Loi faible des grands nombres : [formule] pour [formule] i.i.d. de moyenne [formule]. > * Loi forte des grands nombres : [formule] sous les mêmes hypothèses. > * Théorème central limite (TCL) : pour [formule] i.i.d. de variance [formule], [formule]. > * Version multidimensionnelle : [formule]. > * Théorème de Berry-Esseen : Vitesse de convergence dans le TCL : [formule]. > * Delta-method : Si [formule] et [formule] dérivable, [formule]. > [!WARNING] > ### 2. Pièges à éviter > * Variance infinie : Le TCL classique nécessite [formule]. > * Indépendance : Essentielle pour les versions classiques (extensions existent). > * Vitesse de convergence : Le TCL ne dit rien sur la vitesse sans Berry-Esseen. > * Approximation : Pour [formule] fini, l'approximation normale peut être mauvaise (surtout queues). > * Normalisation : Attention au facteur [formule] dans le TCL. > [!TIP] > ### 3. Exercice Type : Application du TCL > Énoncé : On lance 10000 fois une pièce équilibrée. Approximer [formule]. > > Solution Détaillée : > 1. Paramètres : [formule], [formule]. [formule], [formule]. > 2. Normalisation : [formule]. > 3. Calcul : [formule] > [formule]. > 4. Conclusion : Environ 95.4% de chances d'être entre 4900 et 5100 Pile. > [!QUESTION] > ### 4. Questions de Jury > * Q1 : Énoncer le théorème central limite. > * Rép : Si [formule] i.i.d. avec [formule], [formule], alors [formule]. > * Q2 : Quand le TCL ne s'applique-t-il pas ? > * Rép : Variance infinie (ex : Cauchy), dépendance forte, non-identique distribution sans conditions. > * Q3 : Qu'est-ce que le TCL de Lindeberg ? > * Rép : Version pour variables indépendantes non identiquement distribuées, sous condition de Lindeberg. ### 5. Références Bibliographiques * D. Foata, A. Fuchs, Calcul des probabilités — Démonstrations rigoureuses des théorèmes limites. * J.-Y. Ouvrard, Probabilités 2 — Applications du TCL et de la LGN.