Théorème Spectral > [!NOTE] > ### 1. Énoncé (Cas Réel) > Soit [formule] un espace euclidien et [formule] un endomorphisme symétrique de [formule]. > Alors : > * Spectre : Les valeurs propres de [formule] sont toutes réelles. > * Orthogonalité : Les sous-espaces propres sont deux à deux orthogonaux. > * Conclusion : [formule] est diagonalisable dans une base orthonormée. > > Matriciellement : Toute matrice symétrique réelle [formule] est diagonalisable via une matrice orthogonale : > [formule] > [!WARNING] > ### 2. Pièges à éviter > * Le corps de base : Attention, une matrice symétrique complexe n'est pas forcément diagonalisable. Le théorème spectral exige un produit scalaire. > * Symétrique vs Auto-adjoint : Ne pas confondre. En dimension finie et base orthonormée, c'est pareil. > [!TIP] > ### 3. Exercice : Racine carrée > Énoncé : Soit [formule]. Montrer qu'il existe une unique matrice [formule] telle que [formule]. > > #### Solution Détaillée : > 1. Existence : > D'après le théorème spectral, [formule] est diagonalisable dans une base orthonormée. Il existe [formule] et [formule] tels que [formule]. > Comme [formule], les valeurs propres [formule] sont strictement positives. > On pose [formule] et on construit [formule]. > On vérifie que [formule] est symétrique (évident), définie positive (ses valeurs propres sont [formule] ) et que [formule]. > > 2. Unicité : > Soit [formule] une autre solution telle que [formule]. > * Comme [formule], [formule] commute avec [formule] (car [formule] ). > * Donc [formule] stabilise les sous-espaces propres de [formule]. > * La restriction de [formule] à chaque espace propre [formule] est une matrice symétrique positive dont le carré vaut [formule]. > * Sur cet espace, [formule] est donc l'homothétie de rapport [formule]. > * Conclusion : [formule] coïncide nécessairement avec [formule] sur chaque sous-espace propre, donc [formule]. > [!QUESTION] > ### 4. Questions de Jury > * Q1 : La décomposition de Dunford utilise-t-elle le théorème spectral ? > * Rép : Non. Dunford concerne la réduction via polynômes annulateurs sur un corps quelconque, sans besoin de produit scalaire. > * Q2 : Peut-on diagonaliser une matrice antisymétrique réelle ? > * * Rép : Pas dans [formule] (valeurs propres imaginaires pures), mais oui dans [formule] car elle est normale (c'est-à-dire [formule] ). > * Q3 : A-t-on toujours [formule] ? > * Rép : Oui par définition de la norme subordonnée. Pour une symétrique, [formule] (rayon spectral). ### 5. Références Bibliographiques * X. Gourdon, Algèbre — La référence pour l'agrégation, très complet sur le théorème spectral. * J. Grifone, Algèbre linéaire — Clair sur l'aspect géométrique et la diagonalisation orthogonale.