Systèmes Linéaires > [!NOTE] > ### 1. Définitions et Fondamentaux > Un système linéaire est un ensemble d'équations linéaires : [formule] avec [formule]. > * Système homogène : [formule]. L'ensemble des solutions est [formule], un [espace vectoriel](def:espace vectoriel). > * Pivot de Gauss : Algorithme pour échelonner la matrice et résoudre le système. > * Rang : [formule]. Détermine le nombre de pivots. > * Théorème de Rouché-Fontené : [formule] a des solutions ssi [formule]. > * Structure des solutions : [formule] où [formule] est une solution particulière. > * Système de Cramer : Système carré, i.e. [formule], avec [formule]. Solution unique [formule]. > * Formules de Cramer : [formule] où [formule] est [formule] avec la colonne [formule] remplacée par [formule]. > [!WARNING] > ### 2. Pièges à éviter > * Système incompatible : Si [formule], pas de solution. > * Infinité de solutions : Si [formule] et le système est compatible, infinité de solutions. > * Pivots nuls : Lors du pivot de Gauss, échanger les lignes si le pivot est nul. > * Ordre des opérations : Les opérations élémentaires sur les lignes ne changent pas les solutions. > * Cramer : N'utiliser que pour les systèmes carrés inversibles (coûteux sinon). > [!TIP] > ### 3. Exercice Type : Résolution par Gauss > Énoncé : Résoudre [formule] > > Solution Détaillée : > 1. Matrice augmentée : > [formule] > 2. [formule], [formule] : > [formule] > 3. [formule] : > [formule] > 4. Remontée : [formule], [formule], [formule]. > [!QUESTION] > ### 4. Questions de Jury > * Q1 : Quelle est la complexité du pivot de Gauss ? > * Rép : [formule] pour un système [formule]. > * Q2 : Comment interpréter géométriquement un système de 2 équations à 2 inconnues ? > * Rép : Deux droites dans le plan. Solution unique si sécantes, infinité si confondues, aucune si parallèles. > * Q3 : Qu'est-ce que la factorisation LU ? > * Rép : [formule] où [formule] est triangulaire inférieure et [formule] triangulaire supérieure. Utile pour résoudre [formule] rapidement. ### 5. Références Bibliographiques * X. Gourdon, Algèbre — La référence pour l'agrégation, très complet sur les systèmes. * R. Music, Algèbre linéaire — Très bon pour les méthodes de résolution et le rang.