Surfaces > [!NOTE] > ### 1. Définitions et Fondamentaux > Une surface dans [formule] est définie par une équation [formule] ou paramétriquement [formule]. > * Surface paramétrée : [formule], [formule]. > * Régulière : [formule] (vecteurs tangents linéairement indépendants). > * Plan tangent : Engendré par [formule] et [formule]. Normale : [formule]. > * Première forme fondamentale : [formule] avec [formule], etc. > * Seconde forme fondamentale : [formule]. Mesure la courbure. > * Courbure de Gauss : [formule] (produit des courbures principales). > * Courbure moyenne : [formule]. > [!WARNING] > ### 2. Pièges à éviter > * Régularité : La sphère avec paramétrage usuel est singulière aux pôles. > * Orientation : Le choix de [formule] définit une orientation ; changer l'ordre de [formule] change le signe. > * Courbure intrinsèque : [formule] est intrinsèque (Theorema Egregium de Gauss), [formule] ne l'est pas. > * Surface minimale : [formule] (ex : caténoïde, hélicoïde), pas nécessairement d'aire minimale globale. > * Isométries : Une isométrie préserve [formule] et [formule], mais pas nécessairement la forme de la surface. > [!TIP] > ### 3. Exercice Type : Courbure de la sphère > Énoncé : Calculer la courbure de Gauss de la sphère de rayon [formule]. > > Solution Détaillée : > 1. Paramétrage : [formule]. > 2. Vecteurs tangents : > - [formule] > - [formule] > 3. Première forme : [formule], [formule], [formule]. > 4. Seconde forme : [formule], [formule], [formule] (après calcul). > 5. Courbure de Gauss : [formule]. > 6. Conclusion : Courbure de Gauss constante positive [formule]. > [!QUESTION] > ### 4. Questions de Jury > * Q1 : Énoncer le Theorema Egregium de Gauss. > * Rép : La courbure de Gauss ne dépend que de la première forme fondamentale (propriété intrinsèque). > * Q2 : Qu'est-ce qu'une géodésique ? > * Rép : Courbe sur la surface dont la courbure géodésique est nulle. Localement, plus court chemin. > * Q3 : Quelle est la courbure de Gauss d'un cylindre ? > * Rép : [formule] (surface développable, localement isométrique au plan). ### 5. Références Bibliographiques * M. Berger, Géométrie — Encyclopédique, couvre tous les aspects des surfaces. * J. Lelong-Ferrand, J.-M. Arnaudiès, Géométrie et Cinématique — Classique complet sur les surfaces.