Suites Numériques > [!NOTE] > ### 1. Définitions et Fondamentaux > Une suite [formule] est une application de [formule] dans [formule] ou [formule]. > * Convergence : [formule] si [formule]. > * Suite bornée : [formule]. Toute suite convergente est bornée. > * Suite monotone : Croissante : [formule]. Décroissante : [formule]. > * Théorème de la limite monotone : Suite monotone bornée [formule] convergente. > * Suites adjacentes : [formule] croissante, [formule] décroissante, [formule] même limite. > * Bolzano-Weierstrass : Toute suite bornée admet une sous-suite convergente. > * [Suite de Cauchy](def:suite de cauchy) : [formule]. Dans [formule] : Cauchy [formule] convergente. > [!WARNING] > ### 2. Pièges à éviter > * Bornée ≠ convergente : [formule] est bornée mais ne converge pas. > * Unicité de la limite : Une suite ne peut avoir qu'une seule limite. > * Limite de produit : [formule] et [formule] : [formule] peut avoir n'importe quel comportement. > * Sous-suite : Si [formule] converge, toute sous-suite converge vers la même limite. > * Critère de Cauchy : Utile quand on ne connaît pas la limite. > [!TIP] > ### 3. Exercice Type : Convergence par encadrement > Énoncé : Montrer que [formule] converge. > > Solution Détaillée : > 1. Monotonie : [formule]. Suite croissante. > 2. Majoration : Pour [formule], [formule]. > 3. Télescopage : [formule]. > 4. Conclusion : Suite croissante majorée par 2, donc convergente. (En fait, [formule].) > [!QUESTION] > ### 4. Questions de Jury > * Q1 : Énoncer le théorème de Bolzano-Weierstrass. > * Rép : Toute suite bornée de réels admet une sous-suite convergente. > * Q2 : Qu'est-ce qu'une valeur d'adhérence ? > * Rép : Limite d'une sous-suite convergente. L'ensemble des valeurs d'adhérence est fermé. > * Q3 : Donner un exemple de suite divergente dont une sous-suite converge. > * Rép : [formule] : [formule] et [formule]. ### 5. Références Bibliographiques * X. Gourdon, Analyse — La référence pour l'agrégation, très complet. * C. Zuily, H. Queffélec, Analyse pour l'agrégation — Cours et exercices.