Suites de Fonctions > [!NOTE] > ### 1. Définitions et Fondamentaux > On étudie la convergence de suites [formule] de fonctions. > * Convergence simple : [formule] pour tout [formule] fixé. > * [Convergence uniforme](def:convergence uniforme) : [formule]. > * Uniforme [formule] simple : Mais la réciproque est fausse. > * Continuité : Si [formule] continues et [formule] uniformément, alors [formule] est continue. > * Interversion limite-intégrale : Sous convergence uniforme sur un segment, [formule]. > * Interversion limite-dérivée : Si [formule] uniformément et [formule], alors [formule] avec [formule]. > * Critère de Cauchy uniforme : [formule] quand [formule]. > [!WARNING] > ### 2. Pièges à éviter > * Simple ≠ uniforme : [formule] sur [formule] converge simplement vers [formule] mais pas uniformément. > * Limite discontinue : La convergence simple ne préserve pas la continuité. > * Intégration : On ne peut pas toujours intervertir [formule] et [formule] sans uniformité. > * Dérivation : Plus délicat : il faut l'uniformité de [formule] et la convergence ponctuelle de [formule]. > * Uniforme sur un compact ≠ uniforme partout : [formule] converge uniformément sur tout [formule] mais pas sur [formule]. > [!TIP] > ### 3. Exercice Type : Non-uniformité > Énoncé : Montrer que [formule] converge simplement mais pas uniformément sur [formule]. > > Solution Détaillée : > 1. Convergence simple : Pour [formule] : [formule]. > Pour [formule] : [formule] (exponentielle l'emporte). > Donc [formule] simplement. > 2. Non-uniformité : [formule]. > Donc [formule]. > 3. Conclusion : La convergence n'est pas uniforme sur [formule]. > [!QUESTION] > ### 4. Questions de Jury > * Q1 : Peut-on intervertir [formule] et [formule] sans convergence uniforme ? > * Rép : Oui parfois, avec la convergence dominée (Lebesgue) ou monotone. > * Q2 : Donner un exemple où [formule] continues, [formule] simplement, mais [formule] discontinue. > * Rép : [formule] sur [formule]. Limite = [formule] si [formule], [formule] si [formule]. > * Q3 : Qu'est-ce que la convergence localement uniforme ? > * Rép : Uniforme sur tout compact. Souvent suffisante pour préserver la continuité. ### 5. Références Bibliographiques * X. Gourdon, Analyse — La référence pour l'agrégation, très complet. * C. Zuily, H. Queffélec, Analyse pour l'agrégation — Cours et exercices.