Similitudes > [!NOTE] > ### 1. Définitions et Fondamentaux > Une similitude est une transformation qui conserve les angles et multiplie les distances par un facteur constant. > * Définition : [formule] similitude de rapport [formule] si [formule]. > * Directe : Conserve l'orientation. Indirecte : Inverse l'orientation. > * Structure : [formule] où [formule] est une homothétie et [formule] une isométrie. > * Similitude directe plane : [formule] avec [formule], [formule] (rapport), [formule] (angle). > * Point fixe : Une similitude directe plane de rapport [formule] a un unique point fixe (centre) ; une translation (rapport [formule]) n'en a pas. > * Similitude indirecte plane : [formule]. > * Groupe : Les similitudes forment un groupe. Les similitudes directes forment un sous-groupe distingué. > [!WARNING] > ### 2. Pièges à éviter > * Homothétie ≠ similitude : L'homothétie est une similitude particulière — angle = 0 ou [formule]. > * Centre : Le centre d'une similitude n'est pas forcément le centre de l'homothétie dans la décomposition. > * Rapport 1 : Similitude de rapport 1 = isométrie. > * Composition : Le rapport de [formule] est le produit des rapports. > * Similitude ≠ affinité : Toute similitude est affine, mais pas toute affinité (ex : cisaillement). > [!TIP] > ### 3. Exercice Type : Centre d'une similitude > Énoncé : Trouver le centre et le rapport de [formule]. > > Solution Détaillée : > 1. Point fixe : [formule]. > 2. Centre : [formule]. > 3. Rapport : [formule]. > 4. Angle : [formule]. > 5. Conclusion : Similitude directe de centre [formule], rapport [formule], angle [formule]. > [!QUESTION] > ### 4. Questions de Jury > * Q1 : Comment caractériser les similitudes parmi les transformations affines ? > * Rép : La partie linéaire est de la forme [formule] avec [formule] orthogonale et [formule]. > * Q2 : Qu'est-ce qu'une similitude spirale ? > * Rép : Similitude directe plane de rapport [formule] : composée d'une homothétie et d'une rotation de même centre. > * Q3 : Les triangles semblables ont-ils les mêmes angles ? > * Rép : Oui, c'est la définition de la similitude : conservation des angles. ### 5. Références Bibliographiques * M. Berger, Géométrie — Encyclopédique, couvre tous les aspects des similitudes. * M. Audin, Géométrie — Excellente approche moderne des similitudes.