Séries Numériques > [!NOTE] > ### 1. Définitions et Fondamentaux > Une [série numérique](def:serie numerique) [formule] est définie par ses sommes partielles [formule]. > * Convergence : [formule] converge si [formule] converge. On note [formule] la limite. > * Terme général : Si [formule] converge, alors [formule] (condition nécessaire). > * [Convergence absolue](def:convergence absolue) : [formule] converge [formule] converge. > * Série géométrique : [formule] converge ssi [formule], et vaut [formule]. > * Critère de d'Alembert : Si [formule], converge si [formule], diverge si [formule]. > * Comparaison : [formule] et [formule] converge [formule] converge. > * Séries alternées : [formule] avec [formule] positive, décroissante, [formule] : converge. > [!WARNING] > ### 2. Pièges à éviter > * [formule] ne suffit pas : [formule] diverge (série harmonique). > * d'Alembert indécis : [formule] ne conclut pas (ni convergence ni divergence). > * Absolue ≠ simple : [formule] converge mais pas absolument. > * Réarrangement : Une série conditionnellement convergente peut être réarrangée vers n'importe quelle valeur (Riemann). > * Reste : [formule] pour une série convergente. > [!TIP] > ### 3. Exercice Type : Série de Riemann > Énoncé : Étudier la convergence de [formule] selon [formule]. > > Solution Détaillée : > 1. [formule] : [formule]. Diverge. > 2. [formule] : Comparaison avec l'intégrale [formule]. > - Si [formule] : [formule]. Diverge. > - Si [formule] : [formule]. Diverge. > 3. [formule] : [formule]. Converge. > 4. Conclusion : [formule] converge ssi [formule]. > [!QUESTION] > ### 4. Questions de Jury > * Q1 : Calculer [formule]. > * Rép : [formule] (problème de Bâle, Euler). > * Q2 : Énoncer le critère de Cauchy pour les séries. > * Rép : [formule] converge ssi [formule]. > * Q3 : Qu'est-ce que le produit de Cauchy de deux séries ? > * Rép : [formule] avec [formule] (valide si absolument convergentes). ### 5. Références Bibliographiques * X. Gourdon, Analyse — La référence pour l'agrégation, très complet. * C. Zuily, H. Queffélec, Analyse pour l'agrégation — Cours et exercices.