Séries de Fourier > [!NOTE] > ### 1. Définitions et Fondamentaux > Les séries de Fourier décomposent une fonction périodique en somme de sinus et cosinus. > * Coefficients : Pour [formule] de période [formule] : [formule], [formule]. > * Forme exponentielle : [formule]. Série : [formule]. > * Relation : [formule], [formule], [formule] si [formule] réelle. > * Parseval : [formule] pour [formule]. > * Convergence [formule] : La série de Fourier converge vers [formule] dans [formule]. > * Convergence ponctuelle : Si [formule] est [formule] par morceaux, convergence vers [formule]. > * Phénomène de Gibbs : Oscillations près des discontinuités (dépassement d'environ 9%). > [!WARNING] > ### 2. Pièges à éviter > * Convergence uniforme : Pas toujours ! Faux si [formule] discontinue. > * Parité : [formule] paire [formule] (série en cosinus). [formule] impaire [formule] (série en sinus). > * Période : Attention au facteur d'échelle si la période n'est pas [formule]. > * [formule] : Nécessaire pour Parseval, mais pas suffisant pour la convergence ponctuelle. > * Continuité ≠ convergence uniforme : Même une fonction continue peut avoir une série non uniformément convergente. > [!TIP] > ### 3. Exercice Type : Identité de Parseval > Énoncé : Calculer [formule] via la série de Fourier de [formule] sur [formule]. > > Solution Détaillée : > 1. Coefficients : [formule] impaire donc [formule]. > [formule]. > 2. Parseval : [formule]. > [formule]. > [formule]. > 3. Conclusion : [formule]. > [!QUESTION] > ### 4. Questions de Jury > * Q1 : Énoncer le théorème de Dirichlet pour les séries de Fourier. > * Rép : Si [formule] est [formule] par morceaux et de période [formule], sa série de Fourier converge vers [formule] en tout point. > * Q2 : Qu'est-ce que la convergence en moyenne quadratique ? > * Rép : [formule]. Vraie pour toute [formule]. > * Q3 : Calculer [formule]. > * Rép : [formule] — via Parseval avec [formule]. ### 5. Références Bibliographiques * X. Gourdon, Analyse — La référence pour l'agrégation, très complet. * H. Queffélec, Analyse pour l'agrégation — Spécialement conçu pour le concours.