Séries de Fonctions > [!NOTE] > ### 1. Définitions et Fondamentaux > Une série de fonctions [formule] est définie par ses sommes partielles [formule]. > * Convergence simple : [formule] converge pour tout [formule]. > * [Convergence uniforme](def:convergence uniforme) : [formule] uniformément. > * [Convergence normale](def:convergence normale) : [formule]. Implique la convergence uniforme et absolue. > * Continuité : Si [formule] continues et [formule] converge uniformément, alors la somme est continue. > * Intégration terme à terme : Sous convergence uniforme : [formule]. > * Dérivation terme à terme : Si [formule] converge uniformément et [formule] converge, alors [formule]. > * Weierstrass : Si [formule] et [formule], alors convergence normale. > [!WARNING] > ### 2. Pièges à éviter > * Normale [formule] uniforme : Mais pas l'inverse ! [formule] converge uniformément sur [formule] mais pas normalement. > * Dérivation : Il faut l'uniformité de [formule], pas seulement de [formule]. > * Domaine : La convergence peut être uniforme sur un compact mais pas sur tout le domaine. > * Absolue vs normale : Absolue = [formule] converge pour tout [formule]. Normale = [formule] converge. > * Série entière : Cas particulier important avec [formule]. > [!TIP] > ### 3. Exercice Type : Convergence normale > Énoncé : Montrer que [formule] converge normalement sur [formule]. > > Solution Détaillée : > 1. Majoration : [formule] pour tout [formule]. > 2. Série majorante : [formule] converge — Riemann, [formule]. > 3. Weierstrass : Donc [formule] converge normalement sur [formule]. > 4. Conséquence : La somme est continue sur [formule]. > [!QUESTION] > ### 4. Questions de Jury > * Q1 : Énoncer le théorème de Weierstrass pour les séries de fonctions. > * Rép : Si [formule] avec [formule] convergente, alors [formule] converge normalement. > * Q2 : Peut-on dériver terme à terme une [série entière](def:serie entiere) ? > * Rép : Oui, dans le disque ouvert de convergence. La série dérivée a le même [rayon de convergence](def:rayon de convergence). > * Q3 : Donner un exemple de série uniformément convergente mais pas normalement. > * Rép : [formule] (série constante, convergente par Leibniz, mais [formule] diverge). ### 5. Références Bibliographiques * X. Gourdon, Analyse — La référence pour l'agrégation, très complet. * C. Zuily, H. Queffélec, Analyse pour l'agrégation — Cours et exercices.