Séries Entières > [!NOTE] > ### 1. Définitions et Rayon > Soit [formule] une série entière. Le rayon de convergence [formule] est défini par le théorème de Cauchy-Hadamard : > [formule] > * Règle de d'Alembert : Si [formule], alors [formule]. > * Dérivation : On peut dériver terme à terme. La série dérivée a le même rayon de convergence. > [formule] > [!WARNING] > ### 2. Pièges à éviter > * Le bord du disque : Pour [formule], on ne peut rien dire a priori. Il faut étudier chaque cas (convergence simple, absolue ou uniforme). > * Série lacunaire : Pour une série type [formule], la règle de d'Alembert ne s'applique pas directement. Il faut poser [formule] ou revenir à Cauchy-Hadamard. > [!TIP] > ### 3. Exercice Classique > Énoncé : Déterminer le rayon de convergence de la série [formule] avec [formule]. > > #### Solution Détaillée : > 1. Règle de d'Alembert : > On pose [formule] pour [formule]. On étudie la limite de [formule]. > [formule] > > 2. Passage à l'exponentielle : > On réécrit le rapport : > [formule] > > 3. Conclusion : > On sait que [formule]. > Donc [formule]. D'après la règle de d'Alembert, le rayon est l'inverse de cette limite : [formule]. > [!QUESTION] > ### 4. Questions de Jury > * Q1 : Une fonction [formule] est-elle toujours développable en série entière ? > * Rép : Non. Contre-exemple célèbre : [formule] (prolongée par 0 en 0). Elle est [formule], toutes ses dérivées en 0 sont nulles, mais elle n'est pas nulle. > * Q2 : Que dire du rayon de la somme de deux séries ? > * Rép : [formule]. Si [formule], on a égalité avec le minimum. Si [formule], le rayon peut être plus grand (ex: somme nulle). > * Q3 : Quel est le lien avec l'Holomorphie ? > * Rép : Une somme de série entière est holomorphe dans son disque ouvert de convergence. Réciproquement, toute fonction holomorphe est analytique (développable en série entière). ### 5. Références Bibliographiques * X. Gourdon, Analyse — La référence pour l'agrégation, très complet. * W. Rudin, Analyse réelle et complexe (traduit en français) — Classique rigoureux.