Rotations > [!NOTE] > ### 1. Définitions et Fondamentaux > Une rotation est une isométrie directe de déterminant [formule] qui fixe un point ou un axe. > * Rotation plane : [formule]. > * Groupe [formule] : Rotations du plan, isomorphe à [formule] ou au cercle [formule]. > * Rotation 3D : Matrice [formule]. Admet un axe (droite de points fixes). > * Formule de Rodrigues : [formule]. > * Angles d'Euler : Trois rotations successives autour de [formule], [formule], [formule] (ou autre convention). > * Quaternions : [formule] représente la rotation d'angle [formule] autour de [formule]. > * Groupe [formule] : Connexe, non simplement connexe. Revêtement universel : [formule]. > [!WARNING] > ### 2. Pièges à éviter > * Non-commutativité : Les rotations 3D ne commutent pas en général (sauf même axe). > * Angle orienté : En dimension 2, l'angle est orienté. En dimension 3, l'axe est orienté. > * Quaternions unitaires : [formule] et [formule] représentent la même rotation. > * Gimbal lock : Les angles d'Euler ont une singularité (perte d'un degré de liberté). > * Valeurs propres : Une rotation 3D a pour valeurs propres [formule], [formule], [formule] sur [formule]. > [!TIP] > ### 3. Exercice Type : Rotation 3D > Énoncé : Trouver la matrice de la rotation d'angle [formule] autour de l'axe [formule]. > > Solution Détaillée : > 1. Action : [formule], [formule], [formule]. > 2. Matrice : > [formule] > 3. Vérification : [formule] ✓, [formule] ✓. > 4. Axe : Le vecteur [formule] est fixé, donc axe = [formule] ✓. > [!QUESTION] > ### 4. Questions de Jury > * Q1 : Comment reconnaître qu'une matrice orthogonale est une rotation ? > * Rép : [formule] — matrice de [formule]. > * Q2 : Quelle est la composée de deux rotations d'axes différents ? > * Rép : Une rotation (en dimension 3, pour des rotations qui ne sont pas demi-tours d'axes parallèles). > * Q3 : Pourquoi les quaternions sont-ils utiles pour les rotations ? > * Rép : Évitent le gimbal lock, interpolation naturelle (slerp), composition par multiplication. ### 5. Références Bibliographiques * M. Berger, Géométrie — Encyclopédique, couvre tous les aspects des rotations. * J. Dieudonné, Algèbre linéaire et géométrie élémentaire — Approche rigoureuse des rotations et du groupe orthogonal.