Réels et Complexes > [!NOTE] > ### 1. Définitions et Fondamentaux > [formule] est le corps des réels, [formule] le corps des complexes. > * Borne supérieure : [formule] est le seul corps totalement ordonné où toute partie non vide majorée admet une borne sup. > * Densité : [formule] est dense dans [formule] : entre deux réels, il y a un rationnel. > * Partie entière : [formule]. > * Nombres complexes : [formule] avec [formule], [formule]. > * Module et argument : [formule], [formule] où [formule]. > * Conjugué : [formule]. On a [formule]. > * Formule d'Euler : [formule]. > * Racines n-ièmes : Les racines de [formule] sont [formule] pour [formule]. > [!WARNING] > ### 2. Pièges à éviter > * Argument non défini pour 0 : [formule] n'existe pas. > * Argument non unique : [formule] est défini modulo [formule]. > * Inégalité triangulaire : [formule] avec égalité ssi [formule] et [formule] sont positivement liés. > * [formule] : Vrai, mais [formule] modulo [formule]. > * Racine carrée complexe : Pas de racine carrée "canonique" dans [formule]. > [!TIP] > ### 3. Exercice Type : Résolution de [formule] > Énoncé : Trouver toutes les racines cubiques de l'unité. > > Solution Détaillée : > 1. On cherche [formule] tel que [formule] et [formule]. > 2. Donc [formule] et [formule] pour [formule]. > 3. Racines : > - [formule] : [formule] > - [formule] : [formule] > - [formule] : [formule] > 4. Vérification : [formule] (somme des racines). > [!QUESTION] > ### 4. Questions de Jury > * Q1 : Montrer que [formule] n'est pas dénombrable. > * Rép : Argument diagonal de Cantor sur les développements décimaux. > * Q2 : Pourquoi [formule] n'est-il pas ordonné ? > * Rép : Si [formule], alors [formule], contradiction. Idem pour [formule]. > * Q3 : Énoncer le théorème de d'Alembert-Gauss. > * Rép : Tout polynôme non constant de [formule] admet au moins une racine dans [formule]. ### 5. Références Bibliographiques * X. Gourdon, Analyse — La référence pour l'agrégation, très complet. * H. Queffélec, Analyse pour l'agrégation — Spécialement conçu pour le concours.