Réduction des Endomorphismes > [!NOTE] > ### 1. Définitions et Fondamentaux > Soit [formule] un endomorphisme d'un [espace vectoriel](def:espace vectoriel) de dimension finie. > * Valeur propre : [formule] tel que [formule]. Équivalent à [formule]. > * [Vecteur propre](def:vecteur propre) : Vecteur non nul [formule] tel que [formule] pour une certaine valeur propre [formule]. > * Sous-espace propre : [formule]. C'est un sous-espace stable par [formule]. > * [Polynôme caractéristique](def:polynome caracteristique) : [formule]. Ses racines sont les valeurs propres. > * [Polynôme minimal](def:polynome minimal) : Plus petit polynôme unitaire [formule] tel que [formule]. Il divise [formule]. > * Diagonalisable : [formule] est diagonalisable ssi [formule] admet une base de vecteurs propres. > * Trigonalisable : [formule] est trigonalisable ssi [formule] est scindé sur [formule]. > [!WARNING] > ### 2. Pièges à éviter > * Vecteur propre nul : Le vecteur [formule] n'est jamais un vecteur propre par définition ! > * Multiplicité : Distinguer multiplicité algébrique dans [formule] et géométrique, i.e. [formule]. On a toujours [formule]. > * Diagonalisable sur [formule] vs [formule] : Une matrice réelle peut être diagonalisable sur [formule] mais pas sur [formule] (ex: rotation). > * Polynôme minimal : [formule] et [formule] ont les mêmes racines mais pas les mêmes multiplicités. > * Cayley-Hamilton : [formule] (l'endomorphisme annule son polynôme caractéristique). Mais [formule] en général. > [!TIP] > ### 3. Exercice Type : Diagonalisabilité > Énoncé : Soit [formule]. [formule] est-elle diagonalisable ? > > Solution Détaillée : > 1. Polynôme caractéristique : > [formule] > 2. Valeur propre : [formule] avec multiplicité algébrique [formule]. > 3. Sous-espace propre : > [formule] > Donc [formule]. > 4. Conclusion : [formule] n'est pas diagonalisable car [formule]. > [!QUESTION] > ### 4. Questions de Jury > * Q1 : Donner une CNS de diagonalisabilité. > * Rép : [formule] diagonalisable [formule] scindé à racines simples [formule] . > * Q2 : Énoncer le théorème de Cayley-Hamilton. > * Rép : Tout endomorphisme annule son polynôme caractéristique : [formule]. > * Q3 : Qu'est-ce que la décomposition de Dunford ? > * Rép : Si [formule] est à polynôme caractéristique scindé, alors [formule] avec [formule] diagonalisable, [formule] nilpotent, et [formule]. > * Q4 : Quand une matrice réelle est-elle diagonalisable sur [formule] ? > * Rép : Quand [formule] est scindé sur [formule] ET que toutes les multiplicités géométriques égalent les algébriques (ex: matrice symétrique réelle). ### 5. Références Bibliographiques * X. Gourdon, Algèbre — La référence pour l'agrégation, très complet sur la réduction. * R. Music, Algèbre linéaire — Très bon pour les aspects pratiques de la diagonalisation.