Quadriques > [!NOTE] > ### 1. Définitions et Fondamentaux > Une quadrique est une surface définie par une équation du second degré dans [formule]. > * Équation générale : [formule]. > * Ellipsoïde : [formule]. > * Hyperboloïde à une nappe : [formule] (surface réglée). > * Hyperboloïde à deux nappes : [formule]. > * Paraboloïde elliptique : [formule]. > * Paraboloïde hyperbolique (selle) : [formule] (surface réglée). > * Cône : [formule] (quadrique dégénérée). > * Cylindre : Quadrique dont l'équation ne dépend que de 2 variables. > [!WARNING] > ### 2. Pièges à éviter > * Signature : La classification dépend de la signature de la forme quadratique associée. > * Surfaces réglées : L'hyperboloïde à une nappe et le paraboloïde hyperbolique sont réglés (deux familles de droites). > * Sections : Les sections d'une quadrique par un plan sont des coniques. > * Axes : Les axes de symétrie correspondent aux vecteurs propres de la partie quadratique. > * Centre : Certaines quadriques n'ont pas de centre (paraboloïdes, cylindres paraboliques). > [!TIP] > ### 3. Exercice Type : Identification > Énoncé : Identifier la quadrique [formule]. > > Solution Détaillée : > 1. Complétion : [formule]. > 2. Simplification : [formule]. > 3. Division : [formule]. > 4. Réarrangement : [formule]. > 5. Type : Hyperboloïde à deux nappes, d'axe parallèle à [formule], centré en [formule]. > [!QUESTION] > ### 4. Questions de Jury > * Q1 : Qu'est-ce qu'une surface réglée ? > * Rép : Surface engendrée par une famille de droites (génératrices). Ex : hyperboloïde à une nappe, cône. > * Q2 : Comment classifier les quadriques ? > * Rép : Par la signature de la forme quadratique [formule] et le rang. Ex : signature [formule] = ellipsoïde. > * Q3 : Quelle est la section d'un paraboloïde elliptique par un plan horizontal ? > * Rép : Une ellipse (ou un point ou vide selon la hauteur du plan). ### 5. Références Bibliographiques * M. Berger, Géométrie — Encyclopédique, couvre tous les aspects des quadriques. * F. Liret, D. Martinais, Géométrie — Niveau classes préparatoires, très clair sur les quadriques.