Géométrie Projective > [!NOTE] > ### 1. Définitions et Fondamentaux > La géométrie projective ajoute des points à l'infini pour uniformiser les résultats. > * Espace projectif : [formule] où [formule]. > * Coordonnées homogènes : [formule] avec au moins un [formule]. > * Points à l'infini : Ceux avec [formule] — dans le modèle où l'affine est [formule]. > * Droite projective : Sous-espace de dimension 1 de [formule], i.e., plan vectoriel quotienté. > * Dualité : Points [formule] hyperplans. Incidence préservée. > * Birapport : [formule]. Invariant projectif. > * Homographie : Application projective bijective, induite par un isomorphisme linéaire de [formule]. > [!WARNING] > ### 2. Pièges à éviter > * Coordonnées : [formule] sont le même point ! > * Droites parallèles : Se coupent à l'infini en géométrie projective. > * Birapport : Dépend de l'ordre des 4 points. Permuter change la valeur. > * Homographie ≠ affinité : Une homographie n'a pas de sens affine en général (envoie des points finis à l'infini). > * Théorème de Desargues : Vrai en dimension [formule] ou sur un corps, peut être faux sur certains anneaux. > [!TIP] > ### 3. Exercice Type : Birapport > Énoncé : Calculer le birapport [formule] avec [formule], [formule], [formule], [formule] sur [formule]. > > Solution Détaillée : > 1. Formule : [formule]. > 2. Avec [formule] : On passe à la limite, les termes en [formule] dominent. > [formule]. > 3. Vérification : En coordonnées homogènes : [formule], [formule], [formule], [formule]. > 4. Conclusion : [formule]. > [!QUESTION] > ### 4. Questions de Jury > * Q1 : Énoncer le théorème de Pappus. > * Rép : Si [formule] sont alignés et [formule] alignés, alors [formule], [formule], [formule] sont alignés. > * Q2 : Qu'est-ce qu'une conique projective ? > * Rép : Ensemble des points [formule] annulant une forme quadratique homogène de degré 2. > * Q3 : Pourquoi le birapport est-il un invariant projectif ? > * Rép : Il est préservé par toute homographie (application projective bijective). ### 5. Références Bibliographiques * M. Audin, Géométrie — Excellente approche moderne de la géométrie projective. * M. Berger, Géométrie — Encyclopédique, couvre tous les aspects de la géométrie projective.