Produit Scalaire et Applications Géométriques > [!NOTE] > ### 1. Définitions et Fondamentaux > Le [produit scalaire](def:produit scalaire) sur [formule] est la forme bilinéaire [formule]. > * Norme euclidienne : [formule]. > * Angle : [formule] pour [formule]. > * Orthogonalité : [formule]. > * Inégalité de Cauchy-Schwarz : [formule]. > * Projection orthogonale : [formule]. > * Formule d'Al-Kashi : [formule] (généralisation de Pythagore). > * Identité du parallélogramme : [formule]. > [!WARNING] > ### 2. Pièges à éviter > * Base non orthonormée : La formule [formule] n'est valable qu'en BON. > * Cauchy-Schwarz : L'égalité a lieu ssi les vecteurs sont colinéaires. > * Projection : Ne pas confondre projection sur un vecteur et sur un sous-espace. > * Angle orienté vs non orienté : Le produit scalaire donne [formule], pas l'angle orienté. > [!TIP] > ### 3. Exercice Type : Théorème de la médiane > Énoncé : Soit [formule] un triangle et [formule] le milieu de [formule]. Montrer : [formule]. > > Solution Détaillée : > 1. Notations vectorielles : Posons [formule], [formule]. > 2. Milieu : [formule]. > 3. [formule] : [formule]. > 4. Calcul de [formule] : [formule]. > 5. Calcul de [formule] : [formule]. > 6. Somme : [formule]. CQFD. > [!QUESTION] > ### 4. Questions de Jury > * Q1 : Comment calculer un angle entre deux droites dans l'espace ? > * Rép : [formule] (valeur absolue car angle non orienté entre droites). > * Q2 : Qu'est-ce que l'identité de polarisation ? > * Rép : [formule]. > * Q3 : Comment prouver Cauchy-Schwarz ? > * Rép : Étudier [formule] et son discriminant. ### 5. Références Bibliographiques * M. Berger, Géométrie — Encyclopédique, couvre tous les aspects du produit scalaire. * J. Lelong-Ferrand, J.-M. Arnaudiès, Géométrie et Cinématique — Classique complet sur la géométrie euclidienne.