Probabilités Conditionnelles > [!NOTE] > ### 1. Définitions et Fondamentaux > La [probabilité conditionnelle](def:probabilite conditionnelle) mesure la probabilité d'un événement sachant qu'un autre s'est réalisé. > * Définition : [formule] si [formule]. > * Formule des probabilités composées : [formule]. > * Formule des probabilités totales : Si [formule] partition, [formule]. > * Formule de Bayes : [formule]. > * Événements indépendants : [formule]. > * Indépendance mutuelle : Pour tout sous-ensemble fini [formule], [formule]. > [!WARNING] > ### 2. Pièges à éviter > * Conditionner par [formule] : Non défini directement (mais généralisations existent). > * Deux à deux ≠ mutuellement : L'indépendance deux à deux n'implique pas l'indépendance mutuelle. > * [formule] : Confusion fréquente (erreur du procureur). > * Bayes : Inverse le sens du conditionnement. Utile pour les causes sachant les effets. > * Indépendance et exclusivité : Si [formule] avec [formule], alors [formule] et [formule] ne sont pas indépendants. > [!TIP] > ### 3. Exercice Type : Bayes et diagnostic > Énoncé : Un test détecte une maladie (prévalence 1%) avec sensibilité 95% et spécificité 90%. Si le test est positif, quelle est la probabilité d'être malade ? > > Solution Détaillée : > 1. Données : [formule], [formule], [formule] donc [formule]. > 2. Probabilité totale : [formule] > [formule]. > 3. Bayes : [formule]. > 4. Conclusion : Même avec un test positif, seulement ~9% de chance d'être malade ! > [!QUESTION] > ### 4. Questions de Jury > * Q1 : Énoncer la formule de Bayes. > * Rép : [formule]. > * Q2 : Donner un exemple d'événements deux à deux indépendants mais pas mutuellement. > * Rép : Deux lancers de pièce équilibrée. [formule] = "1er Pile", [formule] = "2ème Pile", [formule] = "parité égale". Deux à deux indépendants, mais pas mutuellement. > * Q3 : Qu'est-ce que le paradoxe de Simpson ? > * Rép : Une tendance présente dans plusieurs groupes peut s'inverser quand on combine les groupes. ### 5. Références Bibliographiques * D. Foata, A. Fuchs, Calcul des probabilités — Chapitre complet sur le conditionnement. * C. Deschamps, Probabilités — Nombreux exercices sur Bayes et probabilités totales.