Polynômes d'Endomorphismes > [!NOTE] > ### 1. Définitions et Fondamentaux > Si [formule] et [formule], on définit [formule]. > * Annulateur : Ensemble des polynômes [formule] tels que [formule]. C'est un idéal de [formule]. > * [Polynôme minimal](def:polynome minimal) : Générateur unitaire [formule] de l'annulateur. [formule]. > * [Polynôme caractéristique](def:polynome caracteristique) : [formule]. Degré exactement [formule]. > * Cayley-Hamilton : [formule]. Donc [formule]. > * Mêmes racines : [formule] et [formule] ont les mêmes racines (les valeurs propres). > * Diagonalisable : [formule] diagonalisable ssi [formule] est scindé à racines simples. > * Lemme de décomposition des noyaux : Si [formule] avec [formule] premiers entre eux, alors [formule]. > [!WARNING] > ### 2. Pièges à éviter > * Multiplicités différentes : [formule] et [formule] ont les mêmes racines mais pas les mêmes multiplicités. > * Degré du minimal : [formule], mais peut être strictement inférieur. > * Calcul de [formule] : En général, [formule] est le plus petit polynôme non trivial de l'idéal annulateur. > * Somme directe : Dans le lemme de décomposition, les [formule] doivent être premiers entre eux deux à deux. > * Trigonalisable : [formule] trigonalisable ssi [formule] est scindé — pas besoin de condition sur [formule]. > [!TIP] > ### 3. Exercice Type : Calcul du polynôme minimal > Énoncé : Soit [formule]. Trouver [formule]. > > Solution Détaillée : > 1. Polynôme caractéristique : [formule] (matrice triangulaire). > 2. Test de [formule] : [formule]. > 3. Test de [formule] : [formule]. > 4. Test de [formule] : [formule]. > 5. Conclusion : [formule]. > [!QUESTION] > ### 4. Questions de Jury > * Q1 : Énoncer le théorème de Cayley-Hamilton. > * Rép : Tout endomorphisme (ou matrice) annule son polynôme caractéristique : [formule]. > * Q2 : Donner un exemple où [formule]. > * Rép : [formule] : [formule] mais [formule]. > * Q3 : Comment utilise-t-on le lemme de décomposition des noyaux ? > * Rép : Pour décomposer [formule] en somme directe de sous-espaces stables, notamment pour la réduction de Jordan. ### 5. Références Bibliographiques * X. Gourdon, Algèbre — La référence pour l'agrégation, très complet sur les polynômes d'endomorphismes. * J.-E. Rombaldi, Algèbre — Exercices corrigés pour l'agrégation sur Cayley-Hamilton et le polynôme minimal.