Polynômes > [!NOTE] > ### 1. Définitions et Fondamentaux > Un polynôme à coefficients dans un anneau [formule] est une expression [formule] où les [formule]. > * Degré : [formule]. Par convention, [formule]. > * Coefficient dominant : [formule] si [formule]. Un polynôme est unitaire si son coefficient dominant vaut 1. > * Divisibilité : [formule] si [formule]. Les inversibles de [formule] sont les constantes non nulles. > * Division euclidienne : [formule] avec [formule], [formule] tels que [formule] et [formule]. > * PGCD : Plus grand diviseur commun (au sens de la divisibilité). [formule] (Bézout). > * Racines : [formule] est racine de [formule] ssi [formule] ssi [formule]. > * Multiplicité : [formule] est racine de multiplicité [formule] si [formule] mais [formule]. > [!WARNING] > ### 2. Pièges à éviter > * Degré du produit : [formule] seulement si [formule] est intègre. Contre-exemple dans [formule] : [formule]. > * Polynôme nul vs fonction nulle : En caractéristique [formule], [formule] est nul sur [formule] mais n'est pas le polynôme nul ! Ne pas confondre polynôme et fonction polynomiale. > * Nombre de racines : Un polynôme de degré [formule] a au plus [formule] racines (dans un corps). Mais attention aux multiplicités : [formule] a une seule racine (de multiplicité 2). > * Irréductibilité : Dépend du corps ! [formule] est irréductible dans [formule] mais pas dans [formule]. > * Critère d'Eisenstein : S'applique aux polynômes à coefficients entiers, pas à n'importe quel anneau. > [!TIP] > ### 3. Exercice Type : Irréductibilité > Énoncé : Montrer que [formule] est irréductible dans [formule] mais réductible dans [formule]. > > Solution Détaillée : > 1. Dans [formule] : On applique Eisenstein au polynôme translaté [formule]. > [formule] > Avec [formule] : [formule] mais [formule] et [formule]. Donc [formule] est irréductible, donc [formule] aussi. > 2. Dans [formule] : Les racines sont [formule] pour [formule]. En regroupant les conjugués : > [formule] > Ces deux facteurs sont irréductibles dans [formule] (discriminant négatif). > [!QUESTION] > ### 4. Questions de Jury > * Q1 : Énoncer et démontrer le théorème de d'Alembert-Gauss. > * Rép : [formule] est algébriquement clos : tout polynôme non constant de [formule] admet au moins une racine dans [formule]. Preuve : par analyse complexe (Liouville) ou topologique. > * Q2 : Quels sont les polynômes irréductibles de [formule] ? > * Rép : Les polynômes de degré 1 et les polynômes de degré 2 à discriminant strictement négatif. Tout polynôme de [formule] se factorise en produit de tels facteurs. > * Q3 : Qu'est-ce que le résultant de deux polynômes ? > * Rép : [formule] où [formule], [formule] sont les racines. Il est nul ssi [formule] et [formule] ont une racine commune. C'est le déterminant de la matrice de Sylvester. > * Q4 : Donner un critère d'irréductibilité autre qu'Eisenstein. > * Rép : Réduction modulo [formule] : si [formule] est irréductible dans [formule] et [formule], alors [formule] est irréductible dans [formule]. ### 5. Références Bibliographiques * X. Gourdon, Algèbre — La référence pour l'agrégation, très complet sur les polynômes. * D. Perrin, Algèbre — Excellent pour l'arithmétique des polynômes et l'irréductibilité.