Nombres Premiers > [!NOTE] > ### 1. Définitions et Fondamentaux > Un nombre premier [formule] est un entier [formule] dont les seuls diviseurs positifs sont [formule] et [formule]. > * Lemme d'Euclide : Si [formule] premier et [formule], alors [formule] ou [formule]. > * Crible d'Ératosthène : Algorithme pour lister les premiers jusqu'à [formule]. > * Théorème des nombres premiers : [formule] où [formule]. > * Postulat de Bertrand : Pour tout [formule], il existe un premier [formule] tel que [formule]. > * Petits premiers : [formule] > * Test de primalité : Pour tester si [formule] est premier, il suffit de vérifier la divisibilité par les [formule]. > * Nombres de Mersenne : [formule]. Si [formule] est premier, alors [formule] est premier (réciproque fausse). > [!WARNING] > ### 2. Pièges à éviter > * 1 n'est pas premier : Par convention, pour préserver l'unicité de la décomposition. > * 2 est le seul premier pair : Tous les autres premiers sont impairs. > * [formule] : Pour [formule], [formule] est divisible par [formule], donc non premier. > * Primalité vs décomposition : Tester si [formule] est premier est plus facile que factoriser [formule]. > * Infinité : Il y a une infinité de premiers, mais leur répartition est irrégulière. > [!TIP] > ### 3. Exercice Type : Infinité des premiers [formule] > Énoncé : Montrer qu'il existe une infinité de nombres premiers congrus à [formule] modulo [formule]. > > Solution Détaillée : > 1. Supposons qu'il n'y ait qu'un nombre fini de tels premiers : [formule], tous [formule]. > 2. Posons [formule]. > 3. [formule] est impair. S'il n'avait que des facteurs premiers [formule], alors [formule]. Contradiction. > 4. Donc [formule] a un facteur premier [formule]. > 5. [formule] car [formule] et [formule], donc [formule]. Mais [formule]. > 6. Contradiction : on a trouvé un nouveau premier [formule]. > [!QUESTION] > ### 4. Questions de Jury > * Q1 : Énoncer le théorème de Dirichlet sur les progressions arithmétiques. > * Rép : Si [formule], il y a une infinité de premiers de la forme [formule]. > * Q2 : Qu'est-ce que l'hypothèse de Riemann ? > * Rép : Les zéros non triviaux de [formule] ont tous pour partie réelle [formule]. Non démontrée. > * Q3 : [formule] est-il premier ? > * Rép : Non, [formule]. Bien que [formule] soit premier, [formule] ne l'est pas. ### 5. Références Bibliographiques * X. Gourdon, Algèbre — La référence pour l'agrégation, très complet sur l'arithmétique. * J.-E. Rombaldi, Algèbre — Exercices corrigés pour l'agrégation sur les nombres premiers.