Lois Continues > [!NOTE] > ### 1. Définitions et Fondamentaux > Les lois continues sont définies par une densité [formule] : [formule]. > * Uniforme [formule] : [formule] sur [formule]. [formule], [formule]. > * [Exponentielle](def:loi exponentielle) [formule] : [formule] pour [formule]. [formule], [formule]. > * [Normale](def:loi normale) [formule] : [formule]. [formule], [formule]. > * Gamma [formule] : [formule] pour [formule]. > * Beta [formule] : [formule] sur [formule]. > * Cauchy : [formule]. Pas d'espérance. > [!WARNING] > ### 2. Pièges à éviter > * [formule] : Pour une loi continue, la probabilité d'une valeur exacte est nulle. > * Exponentielle sans mémoire : [formule]. > * Normale : [formule] (combinaison linéaire). > * Somme de normales indépendantes : Reste normale. > * Cauchy : Pas d'espérance, pas de variance, pas de convergence de la moyenne empirique. > [!TIP] > ### 3. Exercice Type : Loi normale standard > Énoncé : Soit [formule]. Calculer [formule]. > > Solution Détaillée : > 1. Symétrie : [formule]. > 2. Table : [formule]. > 3. Calcul : [formule]. > 4. Interprétation : 95% des valeurs d'une normale standard sont dans [formule]. > C'est la base des intervalles de confiance à 95%. > [!QUESTION] > ### 4. Questions de Jury > * Q1 : Pourquoi la loi normale est-elle si importante ? > * Rép : Théorème central limite : la somme de v.a. i.i.d. (de variance finie) converge en loi vers une normale. > * Q2 : Quelle est la relation entre loi exponentielle et loi de Poisson ? > * Rép : Si les temps inter-arrivées sont [formule], le nombre d'arrivées en temps [formule] est [formule]. > * Q3 : Quelle loi est conjuguée de la binomiale en inférence bayésienne ? > * Rép : La loi Beta. Si prior Beta et vraisemblance binomiale, le posterior est Beta. ### 5. Références Bibliographiques * C. Deschamps, Probabilités — Présentation pédagogique des lois continues. * D. Foata, A. Fuchs, Calcul des probabilités — Propriétés et calculs avec les lois usuelles.