Limites et Continuité > [!NOTE] > ### 1. Définitions et Fondamentaux > La continuité est la propriété fondamentale liant les valeurs d'une fonction à ses valeurs voisines. > * Limite : [formule] si [formule]. > * Continuité en [formule] : [formule]. > * Continuité sur [formule] : Continue en tout point de [formule]. > * Théorème des valeurs intermédiaires (TVI) : [formule] continue sur [formule], [formule]. > * Image d'un segment : [formule] continue sur [formule] est un segment. > * [Uniforme continuité](def:uniforme continuite) : [formule]. > * Théorème de Heine : [formule] continue sur un compact [formule] uniformément continue. > [!WARNING] > ### 2. Pièges à éviter > * Limite ≠ valeur : Une limite peut exister sans que [formule] soit défini. > * Continue ≠ dérivable : [formule] est continue en 0 mais pas dérivable. > * Uniforme ≠ simple : [formule] est continue sur [formule] mais pas uniformément continue. > * TVI : Ne donne pas l'unicité ! Il peut y avoir plusieurs zéros. > * Composition : La composée de fonctions continues est continue. > [!TIP] > ### 3. Exercice Type : Application du TVI > Énoncé : Montrer que [formule] admet une unique solution dans [formule]. > > Solution Détaillée : > 1. Existence : Soit [formule]. > - [formule] > - [formule] > - [formule] continue sur [formule] > - Par le TVI, [formule] tel que [formule]. > 2. Unicité : [formule] sur [formule]. > - [formule] strictement croissante sur [formule]. > - Donc au plus un zéro. > 3. Conclusion : Unique solution [formule]. > [!QUESTION] > ### 4. Questions de Jury > * Q1 : Donner une fonction continue sur [formule] non uniformément continue. > * Rép : [formule]. Pour [formule], quelque soit [formule], on peut trouver [formule] avec [formule] mais [formule] (prendre [formule] grand). > * Q2 : Qu'est-ce qu'une fonction lipschitzienne ? > * Rép : [formule] pour une constante [formule]. Implique l'uniforme continuité. > * Q3 : L'image d'un ouvert par une fonction continue est-elle un ouvert ? > * Rép : Non en général. Contre-exemple : [formule], [formule] n'est pas ouvert. ### 5. Références Bibliographiques * X. Gourdon, Analyse — La référence pour l'agrégation, très complet. * H. Queffélec, Analyse pour l'agrégation — Spécialement conçu pour le concours.