Loi des Grands Nombres et Théorème Central Limite > [!NOTE] > ### 1. Définitions et Fondamentaux > Soit [formule] une suite de v.a. i.i.d. d'espérance [formule] et variance [formule]. On pose [formule]. > * LGN faible : [formule] (convergence en probabilité). > * LGN forte : [formule] (convergence presque sûre). > * TCL : [formule] (convergence en loi). > * Formulation équivalente : [formule]. > * Approximation pratique : Pour [formule] grand, [formule]. > * Intervalle de confiance : [formule] à 95%. > [!WARNING] > ### 2. Pièges à éviter > * Hypothèses : La LGN faible nécessite [formule] finie, la LGN forte aussi. > * TCL : Nécessite variance finie ! Ne s'applique pas à Cauchy. > * Vitesse de convergence : Le TCL ne dit rien sur la vitesse (Berry-Esseen pour ça). > * i.i.d. : Les versions généralisées existent (Lindeberg, Lyapunov) pour des v.a. non identiques. > [!TIP] > ### 3. Exercice Type : Approximation binomiale > Énoncé : Soit [formule]. Calculer [formule] pour [formule]. > > Solution Détaillée : > 1. Paramètres : [formule], [formule], [formule]. > 2. Centrage-réduction : [formule]. > 3. Approximation TCL : [formule]. > 4. Correction de continuité : [formule]. > 5. Table : [formule]. > [!QUESTION] > ### 4. Questions de Jury > * Q1 : Énoncer le TCL. > * Rép : Si [formule] i.i.d. avec [formule] et [formule], alors [formule]. > * Q2 : Quelle différence entre LGN faible et forte ? > * Rép : Faible = convergence en probabilité, Forte = convergence presque sûre. > * Q3 : Pourquoi la correction de continuité ? > * Rép : On approche une loi discrète par une loi continue; [formule]. ### 5. Références Bibliographiques * D. Foata, A. Fuchs, Calcul des probabilités — Démonstrations complètes de la LGN et du TCL. * J.-Y. Ouvrard, Probabilités 2 — Applications et exercices sur les théorèmes limites.