Intégration sur un Segment > [!NOTE] > ### 1. Définitions et Fondamentaux > L'intégrale de Riemann donne un sens à l'aire sous la courbe d'une fonction. > * Subdivision : [formule] de [formule]. > * Sommes de Darboux : [formule] et [formule]. > * Intégrable Riemann : [formule]. > * Fonctions continues : Toute fonction continue sur [formule] est intégrable. > * Fonctions monotones : Toute fonction monotone sur [formule] est intégrable. > * Linéarité : [formule]. > * Relation de Chasles : [formule]. > * Théorème fondamental : Si [formule] continue, [formule] est dérivable et [formule]. > [!WARNING] > ### 2. Pièges à éviter > * Continue par morceaux : Intégrable, mais attention aux points de discontinuité. > * Intégrale et signe : [formule] si [formule] et [formule]. > * Bornes inversées : [formule] par convention. > * Fonction de Dirichlet : [formule] n'est pas Riemann-intégrable (mais Lebesgue-intégrable). > * Primitive ≠ intégrale : [formule] n'implique pas [formule] si [formule] n'est pas continue. > [!TIP] > ### 3. Exercice Type : Intégration par parties > Énoncé : Calculer [formule]. > > Solution Détaillée : > 1. IPP : [formule] avec [formule], [formule]. > 2. [formule], [formule], [formule], [formule]. > 3. [formule]. > [!QUESTION] > ### 4. Questions de Jury > * Q1 : Énoncer le théorème fondamental de l'analyse. > * Rép : Si [formule] est continue sur [formule], alors [formule] est [formule] et [formule]. > * Q2 : Formule du changement de variable ? > * Rép : [formule] si [formule] est [formule]. > * Q3 : Qu'est-ce que l'intégrale de Lebesgue ? > * Rép : Extension de Riemann qui intègre plus de fonctions (limites de fonctions simples). ### 5. Références Bibliographiques * X. Gourdon, Analyse — La référence pour l'agrégation, très complet. * H. Queffélec, Analyse pour l'agrégation — Spécialement conçu pour le concours.