Intégrales Impropres > [!NOTE] > ### 1. Définitions et Fondamentaux > Une intégrale impropre est une intégrale sur un intervalle non borné ou avec une fonction non bornée. > * Type 1 (borne infinie) : [formule] si cette limite existe. > * Type 2 (singularité) : [formule] si [formule] explose en [formule]. > * Convergence absolue : [formule] converge [formule] converge. > * Comparaison : [formule] et [formule] converge [formule] converge. > * Équivalents : Si [formule] et [formule], alors [formule] et [formule] ont même nature. > * Intégrales de Riemann : [formule] converge ssi [formule]. > * En 0 : [formule] converge ssi [formule]. > [!WARNING] > ### 2. Pièges à éviter > * Semi-convergence : [formule] converge mais pas absolument. > * Valeur principale : [formule] mais l'intégrale diverge. > * Deux singularités : Traiter chaque singularité séparément. > * [formule] critique : [formule] diverge (logarithme), [formule] diverge aussi. > * Comparaison : Seulement pour fonctions de signe constant ! > [!TIP] > ### 3. Exercice Type : Convergence par comparaison > Énoncé : Étudier la convergence de [formule]. > > Solution Détaillée : > 1. Équivalent : Pour [formule], [formule]. > 2. Intégrale de référence : [formule] converge — Riemann, [formule]. > 3. Comparaison : [formule] pour [formule]. > 4. Conclusion : [formule] converge. > 5. Calcul : [formule], donc [formule]. > [!QUESTION] > ### 4. Questions de Jury > * Q1 : Donner un exemple d'intégrale semi-convergente. > * Rép : [formule] (intégrale de Dirichlet), mais [formule] diverge. > * Q2 : L'intégrale [formule] converge-t-elle ? > * Rép : Oui, par le changement [formule] et intégration par parties (critère d'Abel). > * Q3 : Calculer [formule]. > * Rép : [formule] (intégrale de Gauss, par passage en polaires). ### 5. Références Bibliographiques * X. Gourdon, Analyse — La référence pour l'agrégation, très complet. * C. Zuily, H. Queffélec, Analyse pour l'agrégation — Cours et exercices.