Bases Hilbertiennes > [!NOTE] > ### 1. Définitions et Propriétés > Une famille [formule] d'un espace de Hilbert [formule] est une base hilbertienne si elle est orthonormée et si l'espace vectoriel engendré est dense dans [formule]. > * Orthonormale : [formule]. > * Identité de Parseval : Condition nécessaire et suffisante pour être une base : > [formule] > [!WARNING] > ### 2. Pièges à éviter > * Base Algébrique : Ne jamais confondre avec une base de Hamel (algébrique). Une base hilbertienne permet d'écrire [formule] comme somme d'une série convergente, pas d'une combinaison linéaire finie. > * Séparabilité : L'existence d'une base hilbertienne dénombrable n'est garantie que si l'espace est séparable. Sinon, la famille est indénombrable (ex: espaces de fonctions presque-périodiques). > [!TIP] > ### 3. Exercice : Orthogonalisation (Legendre) > Énoncé : Dans [formule] muni du produit scalaire canonique, construire les deux premiers éléments de la base orthonormée issue de la famille [formule] par le procédé de Gram-Schmidt. > > #### Solution Détaillée : > 1. Premier vecteur [formule] : > On pose [formule]. La norme est [formule]. > Donc [formule]. > > 2. Deuxième vecteur [formule] : > On cherche [formule]. > Produit scalaire : [formule] (imparité). > Donc [formule]. Norme : [formule]. > On normalise : [formule]. > [!QUESTION] > ### 4. Questions de Jury > * Q1 : Donnez un exemple de base hilbertienne classique. > * Rép : La famille des exponentielles [formule] définie par [formule] dans l'espace [formule]. > * Q2 : Quel est le lien avec les Séries de Fourier ? > * Rép : Les coefficients de Fourier [formule] sont exactement les produits scalaires [formule]. La convergence en moyenne quadratique de la série de Fourier est l'application directe de la théorie des bases hilbertiennes. > * Q3 : Que se passe-t-il si on enlève un vecteur à une base hilbertienne ? > * Rép : Elle reste orthonormée, mais n'est plus totale. L'orthogonal de l'espace engendré n'est plus réduit à [formule] (il contient le vecteur retiré). ### 5. Références Bibliographiques * X. Gourdon, Analyse — La référence pour l'agrégation, très complet. * C. Zuily, H. Queffélec, Analyse pour l'agrégation — Cours et exercices.