Espaces de Hilbert > [!NOTE] > ### 1. Définitions de base > Un espace de Hilbert est un espace préhilbertien complet pour la norme induite. > * Produit scalaire : Forme sesquilinéaire à droite, hermitienne définie positive [formule]. > * Identité du parallélogramme : Caractérise les normes issues d'un produit scalaire : > [formule] > [!WARNING] > ### 2. Pièges à éviter > * Complétude : L'espace des fonctions continues sur [formule] muni de la norme [formule] n'est pas un Hilbert. > * Projection : Sur un sous-espace vectoriel, la projection orthogonale existe toujours si l'espace est de dimension finie. En dimension infinie, elle exige que le sous-espace soit fermé. > [!TIP] > ### 3. Exercice : Projection sur un Convexe > Énoncé : Soit [formule] un Hilbert et [formule] un convexe fermé non vide. Montrer qu'il existe un unique [formule] réalisant la distance [formule]. > > #### Solution Détaillée : > 1. Existence (Suite minimisante) : > Soit [formule]. Il existe une suite [formule] telle que [formule]. > On utilise l'identité du parallélogramme sur [formule] et [formule] : > [formule] > Comme [formule] est convexe, le milieu [formule] est dans [formule], donc [formule]. > En passant à la limite, on déduit que [formule]. La suite est de Cauchy dans [formule] complet, donc converge vers [formule] (fermé). > > 2. Unicité : > Supposons deux solutions [formule]. Par stricte convexité de la norme hilbertienne (ou via parallélogramme), leur milieu serait à une distance strictement inférieure à [formule], ce qui est absurde. > [!QUESTION] > ### 4. Questions de Jury > * Q1 : Quelle est la différence entre une base hilbertienne et une base algébrique ? > * Rép : Une base algébrique (Hamel) génère l'espace par combinaisons linéaires finies. Une base hilbertienne le génère par séries (sommes infinies dénombrables). > * Q2 : Tout espace préhilbertien admet-il une base orthonormée ? > * Rép : Oui (Gram-Schmidt ou Zorn), mais elle ne sera "base de Hilbert" que si l'espace est complet (Isomorphisme avec [formule] ). > * Q3 : Quel est le dual d'un espace de Hilbert ? > * Rép : Il est isomorphe à l'espace lui-même (Théorème de Riesz-Fréchet). Toute forme linéaire continue s'écrit [formule]. ### 5. Références Bibliographiques * X. Gourdon, Analyse — La référence pour l'agrégation, très complet. * C. Zuily, H. Queffélec, Analyse pour l'agrégation — Cours et exercices.