Groupes et Structures > [!NOTE] > ### 1. Définitions et Fondamentaux > Un groupe [formule] est un ensemble muni d'une loi interne associative, avec élément neutre et symétriques. > * Groupe abélien : Groupe dont la loi est commutative. > * Sous-groupe : [formule] est un sous-groupe si [formule] et [formule]. > * Ordre d'un élément : Plus petit [formule] tel que [formule]. Si n'existe pas, ordre infini. > * Théorème de Lagrange : Si [formule] est un sous-groupe de [formule] fini, alors [formule] divise [formule]. > * Sous-groupe distingué : [formule] si [formule]. Permet de former [formule]. > * Morphisme de groupes : [formule] tel que [formule]. > * Premier théorème d'isomorphisme : [formule]. > [!WARNING] > ### 2. Pièges à éviter > * Sous-groupe vs partie stable : Une partie stable n'est pas forcément un sous-groupe (il faut les inverses). > * Distingué : Dans un groupe non abélien, tous les sous-groupes ne sont pas distingués ! > * Ordre et divisibilité : L'ordre d'un élément divise l'ordre du groupe, mais la réciproque est fausse — pas toujours d'élément d'ordre [formule] si [formule]. > * Quotient : [formule] n'est un groupe que si [formule] est distingué. > * Isomorphisme : Deux groupes de même cardinal ne sont pas forcément isomorphes — ex: [formule]. > [!TIP] > ### 3. Exercice Type : Sous-groupes de [formule] > Énoncé : Montrer que tout sous-groupe de [formule] est de la forme [formule] pour un certain [formule]. > > Solution Détaillée : > 1. Si [formule], alors [formule]. > 2. Si [formule], alors [formule] contient des éléments non nuls. Comme [formule] est stable par opposé, [formule]. > 3. Soit [formule]. Montrons [formule]. > - [formule] : car [formule] et [formule] est un sous-groupe. > - [formule] : soit [formule]. Division euclidienne : [formule] avec [formule]. > Alors [formule]. Par minimalité de [formule], on a [formule], donc [formule]. > [!QUESTION] > ### 4. Questions de Jury > * Q1 : Énoncer le théorème de Lagrange. > * Rép : Si [formule] est un sous-groupe d'un groupe fini [formule], alors [formule] divise [formule]. De plus, [formule]. > * Q2 : Qu'est-ce que le centre d'un groupe ? > * Rép : [formule]. C'est un sous-groupe distingué de [formule]. > * Q3 : Donner un exemple de groupe non abélien. > * Rép : Le groupe symétrique [formule] (permutations de 3 éléments), ou [formule]. ### 5. Références Bibliographiques * D. Perrin, Algèbre — Excellent pour les structures (groupes, anneaux, corps). * X. Gourdon, Algèbre — La référence pour l'agrégation, très complet.