Groupes Finis > [!NOTE] > ### 1. Définitions et Fondamentaux > Un groupe fini est un groupe de cardinal fini. L'étude des groupes finis utilise le théorème de Lagrange et ses conséquences. > * Groupe cyclique : Groupe engendré par un seul élément : [formule]. > * Théorème de Lagrange : [formule] divise [formule] pour tout sous-groupe [formule]. > * Petit théorème de Fermat : Si [formule] est premier et [formule], alors [formule]. > * Théorème d'Euler : [formule] si [formule]. > * Groupe symétrique : [formule] est le groupe des permutations de [formule], de cardinal [formule]. > * Signature : Morphisme [formule]. Le noyau est le groupe alterné [formule]. > * Théorèmes de Sylow : Existence et propriétés des p-sous-groupes de Sylow. > [!WARNING] > ### 2. Pièges à éviter > * Réciproque de Lagrange : Fausse ! [formule] (ordre 12) n'a pas de sous-groupe d'ordre 6. > * Cyclique ≠ abélien : Tout groupe cyclique est abélien, mais la réciproque est fausse ([formule] n'est pas cyclique). > * Signature : C'est un morphisme, donc [formule]. > * Transposition : Une transposition est toujours de signature [formule]. > * Décomposition en cycles : Les cycles à supports disjoints commutent. > [!TIP] > ### 3. Exercice Type : Groupes d'ordre [formule] premier > Énoncé : Montrer que tout groupe d'ordre [formule] premier est cyclique. > > Solution Détaillée : > 1. Soit [formule] un groupe d'ordre [formule] et [formule]. > 2. Soit [formule] le sous-groupe engendré par [formule]. > 3. Par Lagrange, [formule] divise [formule]. > 4. Comme [formule], on a [formule]. Les seuls diviseurs de [formule] sont [formule] et [formule]. > 5. Donc [formule], ce qui implique [formule]. > 6. Conclusion : [formule] est cyclique. > [!QUESTION] > ### 4. Questions de Jury > * Q1 : Combien y a-t-il de groupes d'ordre 4 à isomorphisme près ? > * Rép : Deux : [formule] (cyclique) et [formule] (groupe de Klein). > * Q2 : [formule] est-il un sous-groupe distingué de [formule] ? > * Rép : Oui, c'est le noyau de la signature, qui est un morphisme. > * Q3 : Énoncer un théorème de Sylow. > * Rép : Si [formule] divise [formule] avec [formule] premier, alors [formule] possède un sous-groupe d'ordre [formule] (existence). ### 5. Références Bibliographiques * D. Perrin, Algèbre — Excellent pour les groupes finis et les théorèmes de Sylow. * J.-E. Rombaldi, Algèbre — Exercices corrigés pour l'agrégation sur les groupes.