Géométrie Matricielle > [!NOTE] > ### 1. Définitions et Fondamentaux > L'espace [formule] des matrices carrées est un espace vectoriel de dimension [formule]. > * Trace : [formule]. Forme linéaire, invariante par similitude. > * Déterminant : Forme n-linéaire alternée. [formule]. > * [formule] : Matrices inversibles, [formule]. Ouvert dense dans [formule]. > * [formule] : Matrices de déterminant 1. Sous-groupe de [formule]. > * Similitude : [formule] si [formule]. Mêmes valeurs propres, trace, déterminant, polynômes caractéristique et minimal. > * Congruence : [formule] si [formule]. Pour les formes quadratiques. > * Rang : [formule]. Invariant par multiplication par matrice inversible. > [!WARNING] > ### 2. Pièges à éviter > * Similitude ≠ égalité : Deux matrices semblables ne sont pas égales en général. > * Commutativité : [formule] en général. Mais [formule]. > * Inversibilité : [formule] inversible n'implique pas [formule] ou [formule] inversible (sauf si l'un est carré). > * [formule] non connexe sur [formule] : Deux composantes connexes : [formule] et [formule]. > * Exponentielle : [formule] seulement si [formule]. > [!TIP] > ### 3. Exercice Type : Densité des diagonalisables > Énoncé : Montrer que les matrices diagonalisables sont denses dans [formule]. > > Solution Détaillée : > 1. Matrices à valeurs propres distinctes : Si [formule] a [formule] valeurs propres distinctes, elle est diagonalisable. > 2. Discriminant : Le discriminant [formule] de [formule] est un polynôme en les coefficients de [formule]. > 3. Non-nullité : L'ensemble [formule] est un ouvert de Zariski, donc dense. > 4. Approximation : Toute matrice [formule] est limite de matrices [formule] avec valeurs propres distinctes. > 5. Conclusion : Les matrices diagonalisables sur [formule] sont denses dans [formule]. > [!QUESTION] > ### 4. Questions de Jury > * Q1 : [formule] est-il connexe ? > * Rép : Non, il a deux composantes connexes : [formule] où [formule], et [formule] où [formule]. > * Q2 : Quelle est la dimension de [formule] comme variété ? > * Rép : [formule] — une équation [formule] en dimension [formule]. > * Q3 : Qu'est-ce que le commutant d'une matrice ? > * Rép : [formule]. Si [formule] est diagonalisable à valeurs propres distinctes, [formule] est l'ensemble des polynômes en [formule]. ### 5. Références Bibliographiques * X. Gourdon, Algèbre — La référence pour l'agrégation, très complet sur les matrices. * J. Grifone, Algèbre linéaire — Clair sur l'aspect géométrique des matrices.