Géométrie Affine > [!NOTE] > ### 1. Définitions et Fondamentaux > La géométrie affine étudie les propriétés préservées par les transformations affines. > * Espace affine : Ensemble [formule] muni d'un [espace vectoriel](def:espace vectoriel) [formule] et d'une action libre transitive : [formule]. > * Relation de Chasles : [formule]. > * Barycentre : Point [formule] tel que [formule] avec [formule]. > * Sous-espace affine : [formule] où [formule] est un sous-espace vectoriel — direction de [formule]. > * Application affine : [formule] où [formule] est linéaire (partie linéaire). > * Parallélisme : Deux sous-espaces sont parallèles si leurs directions sont incluses l'une dans l'autre. > * Théorème de Thalès : Des parallèles coupent des sécantes en segments proportionnels. > [!WARNING] > ### 2. Pièges à éviter > * Pas d'origine : Un espace affine n'a pas de point privilégié (pas de "0"). > * Barycentre : Les coefficients doivent avoir une somme non nulle. > * Affine ≠ linéaire : Une translation n'est pas linéaire (pas de point fixe). > * Direction : La direction d'une droite affine est une droite vectorielle, pas un vecteur. > * Intersection : L'intersection de deux sous-espaces affines peut être vide (droites parallèles). > [!TIP] > ### 3. Exercice Type : Barycentre > Énoncé : Soit [formule] le barycentre de [formule]. Exprimer [formule]. > > Solution Détaillée : > 1. Définition : [formule]. > 2. Avec [formule] : [formule]. > 3. Simplification : [formule]. > 4. Donc : [formule]. > 5. Conclusion : [formule]. > [!QUESTION] > ### 4. Questions de Jury > * Q1 : Qu'est-ce qu'un repère affine ? > * Rép : Un point [formule] (origine) et une base de [formule]. Les coordonnées de [formule] sont celles de [formule]. > * Q2 : Une application affine bijective est-elle toujours inversible comme application affine ? > * Rép : Oui, et l'inverse est aussi affine (partie linéaire = inverse de la partie linéaire). > * Q3 : Qu'est-ce qu'une homothétie ? > * Rép : Application affine [formule] telle que [formule]. Centre : unique point fixe si [formule]. ### 5. Références Bibliographiques * M. Audin, Géométrie — Excellente approche moderne de la géométrie affine. * J. Lelong-Ferrand, J.-M. Arnaudiès, Géométrie et Cinématique — Classique complet sur la géométrie affine.