Fractions Rationnelles > [!NOTE] > ### 1. Définitions et Fondamentaux > Une fraction rationnelle est un quotient [formule] de deux polynômes avec [formule]. > * Corps des fractions : [formule] est le corps des fractions de l'anneau [formule]. > * Forme irréductible : [formule] avec [formule] et [formule] unitaire. > * Degré : [formule]. > * Pôle : [formule] est un pôle de [formule] si [formule] et [formule]. > * Ordre d'un pôle : Multiplicité de [formule] comme racine de [formule]. > * Partie entière : Division euclidienne : [formule] avec [formule]. > * Décomposition en éléments simples : Sur [formule] : [formule]. > [!WARNING] > ### 2. Pièges à éviter > * Degré négatif : Si [formule], le degré de [formule] est négatif. > * Simplification : Ne pas oublier de simplifier ! [formule] pour [formule]. > * DES sur [formule] : Apparition de termes en [formule] pour les pôles complexes conjugués. > * Pôle ≠ zéro : Un pôle est une racine du dénominateur, pas du numérateur. > * Multiplicité : Dans la DES, les coefficients dépendent de l'ordre du pôle. > [!TIP] > ### 3. Exercice Type : Décomposition en éléments simples > Énoncé : Décomposer [formule] en éléments simples sur [formule]. > > Solution Détaillée : > 1. Pôles : [formule] (ordre 2) et [formule] (ordre 1). > 2. Forme : [formule]. > 3. Calcul de [formule] : [formule], donc [formule]. > 4. Calcul de [formule] : [formule], donc [formule]. > 5. Calcul de [formule] : Limite en [formule] : [formule], donc [formule], soit [formule]. > 6. Vérification : [formule]. > [!QUESTION] > ### 4. Questions de Jury > * Q1 : Pourquoi la DES est-elle unique ? > * Rép : C'est une conséquence de la décomposition en irréductibles et du théorème chinois pour les polynômes. > * Q2 : Comment intègre-t-on une fraction rationnelle ? > * Rép : On décompose en éléments simples puis on intègre terme à terme (logarithmes et arctan). > * Q3 : Quelle est la DES de [formule] sur [formule] ? Sur [formule] ? > * Rép : Sur [formule] : déjà irréductible. Sur [formule] : [formule]. ### 5. Références Bibliographiques * X. Gourdon, Algèbre — La référence pour l'agrégation, très complet sur les fractions rationnelles. * J.-E. Rombaldi, Algèbre — Exercices corrigés pour l'agrégation sur la décomposition en éléments simples.