Formes Quadratiques > [!NOTE] > ### 1. Définitions et Fondamentaux > Une forme quadratique sur un espace vectoriel [formule] est une application [formule] telle que [formule] pour une forme bilinéaire symétrique [formule]. > * Forme polaire : [formule] en caractéristique [formule]. > * Matrice : Dans une base, [formule] où [formule] est symétrique. > * Signature : [formule] où [formule] = nombre de valeurs propres [formule], [formule] = nombre de [formule]. > * Définie positive : [formule] pour tout [formule]. Équivalent à signature [formule]. > * Théorème de Sylvester : La signature est invariante par changement de base. > * Réduction de Gauss : Écrire [formule] comme somme de carrés de formes linéaires indépendantes. > * Isotrope : Vecteur [formule] tel que [formule]. Un espace est isotrope s'il en contient. > [!WARNING] > ### 2. Pièges à éviter > * Caractéristique 2 : La formule de polarisation ne marche pas ! Les formes quadratiques ne sont pas équivalentes aux formes bilinéaires. > * Rang ≠ dimension : Le rang de [formule] est le rang de [formule], pas la dimension de [formule]. > * Congruence : Deux matrices sont congruentes, i.e. [formule], ssi elles représentent la même forme quadratique. > * Définie vs semi-définie : Semi-définie positive : [formule] (le noyau peut être non trivial). > * Signature sur [formule] : Toute forme quadratique complexe de rang [formule] est congruente à [formule]. > [!TIP] > ### 3. Exercice Type : Réduction de Gauss > Énoncé : Réduire [formule]. > > Solution Détaillée : > 1. Regroupement : [formule]. > 2. Changement de variables : [formule], [formule], [formule]. > Inversible : [formule], [formule], [formule]. > 3. Forme réduite : [formule]. > 4. Signature : [formule] car deux carrés positifs, [formule] n'apparaît pas (rang 2 sur un espace de dim 3). > 5. Conclusion : [formule] est semi-définie positive, de rang 2. > [!QUESTION] > ### 4. Questions de Jury > * Q1 : Énoncer le théorème d'inertie de Sylvester. > * Rép : La signature [formule] d'une forme quadratique réelle est un invariant : elle ne dépend pas de la base choisie. > * Q2 : Quand une forme quadratique réelle est-elle définie positive ? > * Rép : Ssi toutes les valeurs propres de sa matrice sont strictement positives, ou ssi tous les mineurs principaux sont [formule] (Sylvester). > * Q3 : Qu'est-ce que le cône isotrope ? > * Rép : [formule]. C'est un cône (stable par multiplication scalaire). ### 5. Références Bibliographiques * X. Gourdon, Algèbre — La référence pour l'agrégation, très complet sur les formes quadratiques. * J. Grifone, Algèbre linéaire — Clair sur l'aspect géométrique et la signature.