Fonctions Génératrices > [!NOTE] > ### 1. Définitions et Fondamentaux > Les fonctions génératrices caractérisent les lois de variables aléatoires. > * Fonction génératrice : [formule] pour [formule] à valeurs dans [formule]. > * Caractérisation : [formule] caractérise la loi de [formule] sur [formule]. > * Moments : [formule], [formule]. > * Somme indépendante : [formule]. > * Fonction caractéristique : [formule] (définie pour toute v.a.). > * Transformée de Laplace : [formule] pour [formule]. > * Fonction génératrice des moments : [formule] si elle existe. > [!WARNING] > ### 2. Pièges à éviter > * Rayon de convergence : [formule] converge au moins pour [formule]. > * Pas toujours définie : La MGF [formule] peut ne pas exister (ex : Cauchy). > * Unicité : La fonction caractéristique existe toujours et caractérise la loi. > * Inversion : Récupérer la loi à partir de [formule] peut être difficile en pratique. > * Dérivées en 1 : Pour [formule], les dérivées en [formule] donnent les moments factoriels. > [!TIP] > ### 3. Exercice Type : Somme de Poisson > Énoncé : Montrer que si [formule], [formule] indépendantes, alors [formule]. > > Solution Détaillée : > 1. FG de Poisson : [formule]. > 2. Idem pour [formule] : [formule]. > 3. Produit : [formule]. > 4. Reconnaissance : C'est la FG de [formule]. > 5. Conclusion : [formule]. > [!QUESTION] > ### 4. Questions de Jury > * Q1 : Pourquoi la fonction caractéristique est-elle préférée ? > * Rép : Elle existe toujours car [formule], caractérise la loi, et est utile pour le TCL. > * Q2 : Quelle est la fonction caractéristique de [formule] ? > * Rép : [formule]. > * Q3 : Comment utiliser les fonctions génératrices pour les processus de branchement ? > * Rép : Si [formule], alors [formule]. ### 5. Références Bibliographiques * D. Foata, A. Fuchs, Calcul des probabilités — Traitement complet des fonctions génératrices. * J.-Y. Ouvrard, Probabilités 2 — Applications aux marches aléatoires et processus de branchement.