Estimation > [!NOTE] > ### 1. Définitions et Fondamentaux > L'estimation consiste à inférer les paramètres d'une loi à partir d'observations. > * Statistique : Fonction mesurable de l'échantillon [formule]. > * Estimateur : Statistique servant à estimer un paramètre [formule]. > * Biais : [formule]. Sans biais si [formule]. > * Variance : [formule]. Erreur quadratique moyenne : [formule]. > * Convergent : [formule]. > * Maximum de vraisemblance (MV) : [formule]. > * Moments : Égaliser moments empiriques et théoriques. > * Borne de Cramér-Rao : [formule] où [formule] est l'information de Fisher. > [!WARNING] > ### 2. Pièges à éviter > * Sans biais ≠ meilleur : Un estimateur biaisé peut avoir un MSE plus petit. > * MV pas toujours sans biais : Ex : [formule] est biaisé — corriger par [formule]. > * Efficace : Atteint la borne de Cramér-Rao. N'existe pas toujours. > * Existence du MV : Peut ne pas exister ou ne pas être unique. > * Asymptotique : Les propriétés du MV sont souvent asymptotiques. > [!TIP] > ### 3. Exercice Type : EMV pour la loi exponentielle > Énoncé : Soit [formule] i.i.d. [formule]. Trouver l'EMV de [formule]. > > Solution Détaillée : > 1. Vraisemblance : [formule]. > 2. Log-vraisemblance : [formule]. > 3. Dérivée : [formule]. > 4. Solution : [formule]. > 5. Vérification : [formule] : c'est un maximum. > [!QUESTION] > ### 4. Questions de Jury > * Q1 : Qu'est-ce que l'information de Fisher ? > * Rép : [formule]. > * Q2 : Quelles sont les propriétés asymptotiques du MV ? > * Rép : Sous conditions : consistant, asymptotiquement normal, asymptotiquement efficace. > * Q3 : Qu'est-ce qu'une statistique exhaustive ? > * Rép : Statistique [formule] telle que [formule] ne dépend pas de [formule]. Contient toute l'info sur [formule]. ### 5. Références Bibliographiques * G. Saporta, Probabilités, analyse des données et statistique — Théorie de l'estimation avec applications. * J.-J. Droesbeke, Éléments de statistique — Méthodes d'estimation et propriétés des estimateurs.