Espérance et Variance > [!NOTE] > ### 1. Définitions et Fondamentaux > Soit [formule] une variable aléatoire réelle. > * Espérance (cas discret) : [formule] si la série converge absolument. > * Espérance (cas continu) : [formule] si l'intégrale converge absolument. > * Linéarité : [formule] (toujours vraie). > * Variance : [formule]. > * Écart-type : [formule]. > * Propriétés variance : [formule]. > * Covariance : [formule]. > * Variance de somme : [formule]. > [!WARNING] > ### 2. Pièges à éviter > * Existence : L'espérance peut ne pas exister (ex : loi de Cauchy). > * Produit d'espérances : [formule] sauf si [formule] indépendantes. > * Variance de somme : [formule] sauf si non corrélées. > * Inégalité de Markov : [formule] pour [formule]. > * Inégalité de Bienaymé-Tchebychev : [formule]. > [!TIP] > ### 3. Exercice Type : Espérance d'une géométrique > Énoncé : Soit [formule] le rang du premier succès. Calculer [formule]. > > Solution Détaillée : > 1. Loi : [formule] pour [formule]. > 2. Espérance : [formule]. > 3. Astuce : On pose [formule] et on utilise [formule]. > 4. Calcul : [formule]. > 5. Interprétation : En moyenne, il faut [formule] essais pour obtenir un succès. > [!QUESTION] > ### 4. Questions de Jury > * Q1 : Donner un exemple de v.a. sans espérance. > * Rép : Loi de Cauchy : [formule], [formule]. > * Q2 : Montrer l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev. > * Rép : Appliquer Markov à [formule] avec [formule]. > * Q3 : Si [formule], sont-elles indépendantes ? > * Rép : Non ! Contre-exemple : [formule], [formule]. Non corrélées mais dépendantes. ### 5. Références Bibliographiques * D. Foata, A. Fuchs, Calcul des probabilités — Cours complet et rigoureux, idéal pour l'agrégation. * J.-Y. Ouvrard, Probabilités 2 — Très clair sur les variables aléatoires et leurs moments.