Espaces Vectoriels > [!NOTE] > ### 1. Définitions et Fondamentaux > Un [espace vectoriel](def:espace vectoriel) sur un corps [formule] est un ensemble [formule] muni d'une addition interne et d'une multiplication externe par des scalaires, vérifiant 8 axiomes. > * Sous-espace vectoriel : Partie non vide stable par combinaison linéaire. C'est automatiquement un espace vectoriel. > * [Famille libre](def:famille libre) : [formule] est libre si [formule]. > * [Famille génératrice](def:famille generatrice) : [formule] engendre [formule] si tout vecteur de [formule] est combinaison linéaire des [formule]. > * Base : Famille à la fois libre et génératrice. Toute base a le même cardinal : la dimension. > * Théorème de la base incomplète : Toute famille libre peut être complétée en une base. > * Formule de Grassmann : [formule]. > * Somme directe : [formule] signifie [formule] et [formule]. > [!WARNING] > ### 2. Pièges à éviter > * Libre ≠ générateur : [formule] est libre mais pas génératrice de [formule]. [formule] est génératrice de [formule] mais pas libre ! > * Dimension infinie : [formule] est de dimension infinie (attention aux raisonnements finis). > * Somme vs somme directe : [formule] n'est pas toujours directe ! Vérifier [formule]. > * Vecteur nul : Le vecteur [formule] n'est jamais dans une famille libre. > * Base et coordonnées : Les coordonnées dépendent de la base choisie et de l'ordre des vecteurs. > [!TIP] > ### 3. Exercice Type : Supplémentaire > Énoncé : Soit [formule]. Trouver un supplémentaire de [formule] dans [formule]. > > Solution Détaillée : > 1. Dimension de [formule] : [formule] où [formule]. Par le théorème du rang : [formule]. > 2. Base de [formule] : On cherche les solutions de [formule]. En posant [formule] libres : [formule]. > 3. Supplémentaire : Il suffit de trouver un vecteur [formule]. Prenons [formule] : [formule]. > Donc [formule] est un supplémentaire de [formule] : [formule]. > [!QUESTION] > ### 4. Questions de Jury > * Q1 : Qu'est-ce qu'un hyperplan ? Comment le caractériser ? > * Rép : Sous-espace de codimension 1, c'est-à-dire noyau d'une forme linéaire non nulle. [formule] avec [formule]. > * Q2 : Toute famille libre est-elle finie en dimension finie ? > * Rép : Oui ! Si [formule], toute famille libre a au plus [formule] éléments. Sinon on contredirait la dimension. > * Q3 : Peut-on avoir [formule] avec [formule] ? > * Rép : Oui ! Dans [formule], la droite [formule] a pour supplémentaires toutes les droites non horizontales. > * Q4 : Énoncer le théorème de la base adaptée à une somme directe. > * Rép : Si [formule], en juxtaposant des bases de chaque [formule], on obtient une base de [formule]. ### 5. Références Bibliographiques * R. Music, Algèbre linéaire — Très bon pour les espaces vectoriels et les bases. * X. Gourdon, Algèbre — La référence pour l'agrégation, très complet.