Espaces Probabilisés > [!NOTE] > ### 1. Définitions et Fondamentaux > Un [espace probabilisé](def:espace probabilise) [formule] modélise une expérience aléatoire. > * Univers [formule] : Ensemble de tous les résultats possibles. > * Tribu [formule] : Famille d'événements, stable par complémentaire et union dénombrable. > * Probabilité [formule] : Mesure sur [formule] avec [formule]. > * Axiomes de Kolmogorov : [formule], [formule], [formule]-additivité. > * Événement certain : [formule]. Événement impossible : [formule]. > * Événements incompatibles : [formule]. > * Système complet : [formule] partition de [formule] : [formule]. > [!WARNING] > ### 2. Pièges à éviter > * Tribu ≠ ensemble des parties : Sur [formule], on utilise la tribu borélienne, pas [formule]. > * Probabilité nulle ≠ impossible : Un événement de probabilité 0 peut se produire (ex : choisir un réel particulier). > * Additivité : [formule] (pas de double comptage). > * Continuité : [formule] (continuité monotone). > * Presque sûr : Événement de probabilité 1 (mais pas forcément certain). > [!TIP] > ### 3. Exercice Type : Formule d'inclusion-exclusion > Énoncé : Calculer [formule] en fonction des probabilités des parties. > > Solution Détaillée : > 1. Formule : > [formule] > 2. Cas général (n événements) : > [formule] > 3. Application : Problème des rencontres, probabilité qu'au moins une personne récupère son chapeau. > [!QUESTION] > ### 4. Questions de Jury > * Q1 : Qu'est-ce qu'une tribu ? > * Rép : Famille de parties contenant [formule], stable par complémentaire et union dénombrable. > * Q2 : Pourquoi a-t-on besoin d'une tribu et pas de [formule] ? > * Rép : Sur des espaces non dénombrables, il n'existe pas de mesure [formule]-additive définie sur toutes les parties (Vitali). > * Q3 : Énoncer le lemme de Borel-Cantelli. > * Rép : Si [formule], alors [formule] (p.s. un nombre fini d'événements se réalisent). ### 5. Références Bibliographiques * D. Foata, A. Fuchs, Calcul des probabilités — Fondements axiomatiques des probabilités. * J.-Y. Ouvrard, Probabilités 1 — Introduction aux espaces probabilisés.